Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106447 / 44750
↖ ↑ ↗
← N 49.471694°
E112.365417°		 ← 198.47 m → N 49.471694°
E112.368164°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.469909°
E112.365417°		 ← 198.48 m →
39 389 m²		 N 49.469909°
E112.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812129974365234 y=0.341419219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812129974365234 × 217)
    floor (0.812129974365234 × 131072)
    floor (106447.5)     		tx = 106447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341419219970703 × 217)
    floor (0.341419219970703 × 131072)
    floor (44750.5)     		ty = 44750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106447 / 44750 ti = "17/106447/44750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106447/44750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106447 ÷ 217
    106447 ÷ 131072     		x = 0.812126159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44750 ÷ 217
    44750 ÷ 131072     		y = 0.341415405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812126159667969 × 2 - 1) × π
    0.624252319335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.96114650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341415405273438 × 2 - 1) × π
    0.317169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.996416395502487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96114650} λ = 1.96114650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996416395502487))-π/2
    2×atan(2.70855801503012)-π/2
    2×1.21712013493368-π/2
    2.43424026986736-1.57079632675     		φ = 0.86344394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96114650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.365417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86344394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.471694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106447 KachelY 44750 1.96114650 0.86344394 112.365417 49.471694
    Oben rechts KachelX + 1 106448 KachelY 44750 1.96119444 0.86344394 112.368164 49.471694
    Unten links KachelX 106447 KachelY + 1 44751 1.96114650 0.86341279 112.365417 49.469909
    Unten rechts KachelX + 1 106448 KachelY + 1 44751 1.96119444 0.86341279 112.368164 49.469909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86344394-0.86341279) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86344394-0.86341279) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96114650-1.96119444) × cos(0.86344394) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.649823639821207 × 6371000     		do = 198.472866062675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96114650-1.96119444) × cos(0.86341279) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.649847316154297 × 6371000     		du = 198.480097424229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86344394)-sin(0.86341279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649823639821207-0.649847316154297)×R²
    abs(1.96119444-1.96114650)×2.36763330896395e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.36763330896395e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.36763330896395e-05×40589641000000     		ar = 39388.9776738199m²