Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106444 / 44581
↖ ↑ ↗
← N 49.772396°
E112.357178°		 ← 197.25 m → N 49.772396°
E112.359925°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.770622°
E112.357178°		 ← 197.26 m →
38 908 m²		 N 49.770622°
E112.359925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812107086181641 y=0.340129852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812107086181641 × 217)
    floor (0.812107086181641 × 131072)
    floor (106444.5)     		tx = 106444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340129852294922 × 217)
    floor (0.340129852294922 × 131072)
    floor (44581.5)     		ty = 44581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106444 / 44581 ti = "17/106444/44581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106444/44581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106444 ÷ 217
    106444 ÷ 131072     		x = 0.812103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44581 ÷ 217
    44581 ÷ 131072     		y = 0.340126037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812103271484375 × 2 - 1) × π
    0.62420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96100269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340126037597656 × 2 - 1) × π
    0.319747924804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00451773153828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96100269} λ = 1.96100269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00451773153828))-π/2
    2×atan(2.73059007775424)-π/2
    2×1.21974425508758-π/2
    2.43948851017515-1.57079632675     		φ = 0.86869218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96100269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.357178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86869218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.772396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106444 KachelY 44581 1.96100269 0.86869218 112.357178 49.772396
    Oben rechts KachelX + 1 106445 KachelY 44581 1.96105063 0.86869218 112.359925 49.772396
    Unten links KachelX 106444 KachelY + 1 44582 1.96100269 0.86866122 112.357178 49.770622
    Unten rechts KachelX + 1 106445 KachelY + 1 44582 1.96105063 0.86866122 112.359925 49.770622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86869218-0.86866122) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86869218-0.86866122) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96100269-1.96105063) × cos(0.86869218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645825600172092 × 6371000     		do = 197.251761843376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96100269-1.96105063) × cos(0.86866122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		du = 197.258981248109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86869218)-sin(0.86866122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645825600172092-0.645849237357134)×R²
    abs(1.96105063-1.96100269)×2.3637185042058e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3637185042058e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3637185042058e-05×40589641000000     		ar = 38907.864579857m²