Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106443 / 44601
↖ ↑ ↗
← N 49.736907°
E112.354431°		 ← 197.40 m → N 49.736907°
E112.357178°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 49.735132°
E112.354431°		 ← 197.40 m →
38 961 m²		 N 49.735132°
E112.357178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812099456787109 y=0.340282440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812099456787109 × 217)
    floor (0.812099456787109 × 131072)
    floor (106443.5)     		tx = 106443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340282440185547 × 217)
    floor (0.340282440185547 × 131072)
    floor (44601.5)     		ty = 44601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106443 / 44601 ti = "17/106443/44601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106443/44601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106443 ÷ 217
    106443 ÷ 131072     		x = 0.812095642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44601 ÷ 217
    44601 ÷ 131072     		y = 0.340278625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812095642089844 × 2 - 1) × π
    0.624191284179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.96095475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340278625488281 × 2 - 1) × π
    0.319442749023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00355899354588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96095475} λ = 1.96095475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00355899354588))-π/2
    2×atan(2.72797341185396)-π/2
    2×1.21943455300458-π/2
    2.43886910600915-1.57079632675     		φ = 0.86807278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96095475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.354431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86807278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.736907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106443 KachelY 44601 1.96095475 0.86807278 112.354431 49.736907
    Oben rechts KachelX + 1 106444 KachelY 44601 1.96100269 0.86807278 112.357178 49.736907
    Unten links KachelX 106443 KachelY + 1 44602 1.96095475 0.86804180 112.354431 49.735132
    Unten rechts KachelX + 1 106444 KachelY + 1 44602 1.96100269 0.86804180 112.357178 49.735132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86807278-0.86804180) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86807278-0.86804180) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96095475-1.96100269) × cos(0.86807278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646298378842595 × 6371000     		do = 197.39616061867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96095475-1.96100269) × cos(0.86804180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646322018899418 × 6371000     		du = 197.403380900519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86807278)-sin(0.86804180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646298378842595-0.646322018899418)×R²
    abs(1.96100269-1.96095475)×2.36400568227602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36400568227602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36400568227602e-05×40589641000000     		ar = 38961.4994492749m²