Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106440 / 44586
↖ ↑ ↗
← N 49.763526°
E112.346191°		 ← 197.29 m → N 49.763526°
E112.348938°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.761752°
E112.346191°		 ← 197.30 m →
38 915 m²		 N 49.761752°
E112.348938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812076568603516 y=0.340167999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812076568603516 × 217)
    floor (0.812076568603516 × 131072)
    floor (106440.5)     		tx = 106440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340167999267578 × 217)
    floor (0.340167999267578 × 131072)
    floor (44586.5)     		ty = 44586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106440 / 44586 ti = "17/106440/44586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106440/44586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106440 ÷ 217
    106440 ÷ 131072     		x = 0.81207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44586 ÷ 217
    44586 ÷ 131072     		y = 0.340164184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81207275390625 × 2 - 1) × π
    0.6241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96081094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340164184570312 × 2 - 1) × π
    0.319671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00427804704018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96081094} λ = 1.96081094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00427804704018))-π/2
    2×atan(2.72993567607004)-π/2
    2×1.21966685081367-π/2
    2.43933370162735-1.57079632675     		φ = 0.86853737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96081094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.346191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86853737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.763526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106440 KachelY 44586 1.96081094 0.86853737 112.346191 49.763526
    Oben rechts KachelX + 1 106441 KachelY 44586 1.96085888 0.86853737 112.348938 49.763526
    Unten links KachelX 106440 KachelY + 1 44587 1.96081094 0.86850641 112.346191 49.761752
    Unten rechts KachelX + 1 106441 KachelY + 1 44587 1.96085888 0.86850641 112.348938 49.761752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86853737-0.86850641) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86853737-0.86850641) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96081094-1.96085888) × cos(0.86853737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645943787540321 × 6371000     		do = 197.287859307776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96081094-1.96085888) × cos(0.86850641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645967421629634 × 6371000     		du = 197.295077766994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86853737)-sin(0.86850641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645943787540321-0.645967421629634)×R²
    abs(1.96085888-1.96081094)×2.36340893132736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36340893132736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36340893132736e-05×40589641000000     		ar = 38914.9845727818m²