Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106432 / 53058
↖ ↑ ↗
← N 32.393878°
E112.324219°		 ← 257.84 m → N 32.393878°
E112.326965°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
N 32.391558°
E112.324219°		 ← 257.85 m →
66 498 m²		 N 32.391558°
E112.326965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812015533447266 y=0.404804229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812015533447266 × 217)
    floor (0.812015533447266 × 131072)
    floor (106432.5)     		tx = 106432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404804229736328 × 217)
    floor (0.404804229736328 × 131072)
    floor (53058.5)     		ty = 53058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106432 / 53058 ti = "17/106432/53058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106432/53058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106432 ÷ 217
    106432 ÷ 131072     		x = 0.81201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53058 ÷ 217
    53058 ÷ 131072     		y = 0.404800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81201171875 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96042745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404800415039062 × 2 - 1) × π
    0.190399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.598156633459061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96042745} λ = 1.96042745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598156633459061))-π/2
    2×atan(1.81876306143894)-π/2
    2×1.06808807397858-π/2
    2.13617614795717-1.57079632675     		φ = 0.56537982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96042745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56537982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.393878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106432 KachelY 53058 1.96042745 0.56537982 112.324219 32.393878
    Oben rechts KachelX + 1 106433 KachelY 53058 1.96047538 0.56537982 112.326965 32.393878
    Unten links KachelX 106432 KachelY + 1 53059 1.96042745 0.56533934 112.324219 32.391558
    Unten rechts KachelX + 1 106433 KachelY + 1 53059 1.96047538 0.56533934 112.326965 32.391558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56537982-0.56533934) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dl = 257.89808000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56537982-0.56533934) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dr = 257.89808000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96042745-1.96047538) × cos(0.56537982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844385177871465 × 6371000     		do = 257.8431720169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96042745-1.96047538) × cos(0.56533934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844406863795956 × 6371000     		du = 257.849794074824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56537982)-sin(0.56533934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844385177871465-0.844406863795956)×R²
    abs(1.96047538-1.96042745)×2.16859244905887e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16859244905887e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16859244905887e-05×40589641000000     		ar = 66498.1129213573m²