Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106431 / 44607
↖ ↑ ↗
← N 49.726255°
E112.321472°		 ← 197.44 m → N 49.726255°
E112.324219°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
N 49.724479°
E112.321472°		 ← 197.45 m →
38 983 m²		 N 49.724479°
E112.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812007904052734 y=0.340328216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812007904052734 × 217)
    floor (0.812007904052734 × 131072)
    floor (106431.5)     		tx = 106431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340328216552734 × 217)
    floor (0.340328216552734 × 131072)
    floor (44607.5)     		ty = 44607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106431 / 44607 ti = "17/106431/44607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106431/44607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106431 ÷ 217
    106431 ÷ 131072     		x = 0.812004089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44607 ÷ 217
    44607 ÷ 131072     		y = 0.340324401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812004089355469 × 2 - 1) × π
    0.624008178710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.96037951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340324401855469 × 2 - 1) × π
    0.319351196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.00327137214816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96037951} λ = 1.96037951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00327137214816))-π/2
    2×atan(2.72718890115474)-π/2
    2×1.21934159818303-π/2
    2.43868319636605-1.57079632675     		φ = 0.86788687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96037951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.321472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86788687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.726255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106431 KachelY 44607 1.96037951 0.86788687 112.321472 49.726255
    Oben rechts KachelX + 1 106432 KachelY 44607 1.96042745 0.86788687 112.324219 49.726255
    Unten links KachelX 106431 KachelY + 1 44608 1.96037951 0.86785588 112.321472 49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 106432 KachelY + 1 44608 1.96042745 0.86785588 112.324219 49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86788687-0.86785588) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86788687-0.86785588) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96037951-1.96042745) × cos(0.86788687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646440232767303 × 6371000     		do = 197.439486458596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96037951-1.96042745) × cos(0.86785588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 197.446707933627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86788687)-sin(0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646440232767303-0.646463876730745)×R²
    abs(1.96042745-1.96037951)×2.36439634418995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36439634418995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36439634418995e-05×40589641000000     		ar = 38982.6300426445m²