Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106428 / 44570
↖ ↑ ↗
← N 49.791904°
E112.313232°		 ← 197.17 m → N 49.791904°
E112.315979°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 49.790131°
E112.313232°		 ← 197.18 m →
38 867 m²		 N 49.790131°
E112.315979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811985015869141 y=0.340045928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811985015869141 × 217)
    floor (0.811985015869141 × 131072)
    floor (106428.5)     		tx = 106428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340045928955078 × 217)
    floor (0.340045928955078 × 131072)
    floor (44570.5)     		ty = 44570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106428 / 44570 ti = "17/106428/44570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106428/44570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106428 ÷ 217
    106428 ÷ 131072     		x = 0.811981201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44570 ÷ 217
    44570 ÷ 131072     		y = 0.340042114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811981201171875 × 2 - 1) × π
    0.62396240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96023570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340042114257812 × 2 - 1) × π
    0.319915771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0050450374341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96023570} λ = 1.96023570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0050450374341))-π/2
    2×atan(2.73203031369039)-π/2
    2×1.21991449463625-π/2
    2.43982898927249-1.57079632675     		φ = 0.86903266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96023570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.313232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86903266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.791904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106428 KachelY 44570 1.96023570 0.86903266 112.313232 49.791904
    Oben rechts KachelX + 1 106429 KachelY 44570 1.96028364 0.86903266 112.315979 49.791904
    Unten links KachelX 106428 KachelY + 1 44571 1.96023570 0.86900172 112.313232 49.790131
    Unten rechts KachelX + 1 106429 KachelY + 1 44571 1.96028364 0.86900172 112.315979 49.790131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86903266-0.86900172) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86903266-0.86900172) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96023570-1.96028364) × cos(0.86903266) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		do = 197.172354575534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96023570-1.96028364) × cos(0.86900172) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.645589240099424 × 6371000     		du = 197.179571394188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86903266)-sin(0.86900172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645565611381508-0.645589240099424)×R²
    abs(1.96028364-1.96023570)×2.36287179158357e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.36287179158357e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.36287179158357e-05×40589641000000     		ar = 38867.0773849429m²