Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106422 / 44567
↖ ↑ ↗
← N 49.797223°
E112.296753°		 ← 197.11 m → N 49.797223°
E112.299499°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.795450°
E112.296753°		 ← 197.12 m →
38 867 m²		 N 49.795450°
E112.299499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811939239501953 y=0.340023040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811939239501953 × 217)
    floor (0.811939239501953 × 131072)
    floor (106422.5)     		tx = 106422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340023040771484 × 217)
    floor (0.340023040771484 × 131072)
    floor (44567.5)     		ty = 44567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106422 / 44567 ti = "17/106422/44567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106422/44567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106422 ÷ 217
    106422 ÷ 131072     		x = 0.811935424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44567 ÷ 217
    44567 ÷ 131072     		y = 0.340019226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811935424804688 × 2 - 1) × π
    0.623870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95994808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340019226074219 × 2 - 1) × π
    0.319961547851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00518884813296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95994808} λ = 1.95994808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00518884813296))-π/2
    2×atan(2.73242323713173)-π/2
    2×1.2199609117079-π/2
    2.43992182341579-1.57079632675     		φ = 0.86912550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95994808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.296753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86912550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.797223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106422 KachelY 44567 1.95994808 0.86912550 112.296753 49.797223
    Oben rechts KachelX + 1 106423 KachelY 44567 1.95999601 0.86912550 112.299499 49.797223
    Unten links KachelX 106422 KachelY + 1 44568 1.95994808 0.86909455 112.296753 49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 106423 KachelY + 1 44568 1.95999601 0.86909455 112.299499 49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86912550-0.86909455) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86912550-0.86909455) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95994808-1.95999601) × cos(0.86912550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64549470624462 × 6371000     		do = 197.109573853232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95994808-1.95999601) × cos(0.86909455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 197.11679206492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86912550)-sin(0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64549470624462-0.645518344454283)×R²
    abs(1.95999601-1.95994808)×2.36382096631127e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36382096631127e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36382096631127e-05×40589641000000     		ar = 38867.2603461719m²