Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106420 / 44612
↖ ↑ ↗
← N 49.717376°
E112.291260°		 ← 197.48 m → N 49.717376°
E112.294006°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
N 49.715601°
E112.291260°		 ← 197.48 m →
38 990 m²		 N 49.715601°
E112.294006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811923980712891 y=0.340366363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811923980712891 × 217)
    floor (0.811923980712891 × 131072)
    floor (106420.5)     		tx = 106420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340366363525391 × 217)
    floor (0.340366363525391 × 131072)
    floor (44612.5)     		ty = 44612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106420 / 44612 ti = "17/106420/44612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106420/44612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106420 ÷ 217
    106420 ÷ 131072     		x = 0.811920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44612 ÷ 217
    44612 ÷ 131072     		y = 0.340362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811920166015625 × 2 - 1) × π
    0.62384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95985220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340362548828125 × 2 - 1) × π
    0.31927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00303168765005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95985220} λ = 1.95985220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00303168765005))-π/2
    2×atan(2.72653531458216)-π/2
    2×1.21926412024792-π/2
    2.43852824049583-1.57079632675     		φ = 0.86773191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95985220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.291260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86773191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.717376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106420 KachelY 44612 1.95985220 0.86773191 112.291260 49.717376
    Oben rechts KachelX + 1 106421 KachelY 44612 1.95990014 0.86773191 112.294006 49.717376
    Unten links KachelX 106420 KachelY + 1 44613 1.95985220 0.86770092 112.291260 49.715601
    Unten rechts KachelX + 1 106421 KachelY + 1 44613 1.95990014 0.86770092 112.294006 49.715601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86773191-0.86770092) × R
    3.0990000000064e-05 × 6371000     		dl = 197.437290000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86773191-0.86770092) × R
    3.0990000000064e-05 × 6371000     		dr = 197.437290000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95985220-1.95990014) × cos(0.86773191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64655845400442 × 6371000     		do = 197.475594267426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95985220-1.95990014) × cos(0.86770092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646582094863179 × 6371000     		du = 197.482814794207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86773191)-sin(0.86770092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64655845400442-0.646582094863179)×R²
    abs(1.95990014-1.95985220)×2.36408587593884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36408587593884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36408587593884e-05×40589641000000     		ar = 38989.7589772446m²