Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 10641 / 9582
↖ ↑ ↗
← N 59.634435°
W 63.094483°		 ← 617.56 m → N 59.634435°
W 63.083496°		 →
↑
617.60 m
↓
↑
617.60 m
↓
N 59.628880°
W 63.094483°		 ← 617.66 m →
381 438 m²		 N 59.628880°
W 63.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324752807617188 y=0.292434692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324752807617188 × 215)
    floor (0.324752807617188 × 32768)
    floor (10641.5)     		tx = 10641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292434692382812 × 215)
    floor (0.292434692382812 × 32768)
    floor (9582.5)     		ty = 9582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10641 / 9582 ti = "15/10641/9582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10641/9582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10641 ÷ 215
    10641 ÷ 32768     		x = 0.324737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9582 ÷ 215
    9582 ÷ 32768     		y = 0.29241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.35052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10120646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29241943359375 × 2 - 1) × π
    0.4151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30426716486249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10120646} λ = -1.10120646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30426716486249))-π/2
    2×atan(3.68498761555089)-π/2
    2×1.30580677883703-π/2
    2.61161355767407-1.57079632675     		φ = 1.04081723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10120646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.094483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04081723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.634435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10641 KachelY 9582 -1.10120646 1.04081723 -63.094483 59.634435
    Oben rechts KachelX + 1 10642 KachelY 9582 -1.10101471 1.04081723 -63.083496 59.634435
    Unten links KachelX 10641 KachelY + 1 9583 -1.10120646 1.04072029 -63.094483 59.628880
    Unten rechts KachelX + 1 10642 KachelY + 1 9583 -1.10101471 1.04072029 -63.083496 59.628880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04081723-1.04072029) × R
    9.69399999999343e-05 × 6371000     		dl = 617.604739999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04081723-1.04072029) × R
    9.69399999999343e-05 × 6371000     		dr = 617.604739999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10120646--1.10101471) × cos(1.04081723) × R
    0.000191749999999935 × 0.505515305661244 × 6371000     		do = 617.557338871313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10120646--1.10101471) × cos(1.04072029) × R
    0.000191749999999935 × 0.505598944827645 × 6371000     		du = 617.659515759827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04081723)-sin(1.04072029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505515305661244-0.505598944827645)×R²
    abs(-1.10101471--1.10120646)×8.363916640175e-05×R²
    0.000191749999999935×8.363916640175e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.363916640175e-05×40589641000000     		ar = 381437.892472863m²