Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10641 / 22959
↖ ↑ ↗
← S 58.349866°
W 63.094483°		 ← 641.03 m → S 58.349866°
W 63.083496°		 →
↑
640.99 m
↓
↑
640.99 m
↓
S 58.355631°
W 63.094483°		 ← 640.93 m →
410 859 m²		 S 58.355631°
W 63.083496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324752807617188 y=0.700668334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324752807617188 × 215)
    floor (0.324752807617188 × 32768)
    floor (10641.5)     		tx = 10641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700668334960938 × 215)
    floor (0.700668334960938 × 32768)
    floor (22959.5)     		ty = 22959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10641 / 22959 ti = "15/10641/22959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10641/22959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10641 ÷ 215
    10641 ÷ 32768     		x = 0.324737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22959 ÷ 215
    22959 ÷ 32768     		y = 0.700653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.35052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10120646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.40130615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.26074046000748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10120646} λ = -1.10120646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26074046000748))-π/2
    2×atan(0.283444069779058)-π/2
    2×0.276199523798939-π/2
    0.552399047597877-1.57079632675     		φ = -1.01839728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10120646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.094483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01839728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.349866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10641 KachelY 22959 -1.10120646 -1.01839728 -63.094483 -58.349866
    Oben rechts KachelX + 1 10642 KachelY 22959 -1.10101471 -1.01839728 -63.083496 -58.349866
    Unten links KachelX 10641 KachelY + 1 22960 -1.10120646 -1.01849789 -63.094483 -58.355631
    Unten rechts KachelX + 1 10642 KachelY + 1 22960 -1.10101471 -1.01849789 -63.083496 -58.355631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01839728--1.01849789) × R
    0.000100609999999834 × 6371000     		dl = 640.986309998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01839728--1.01849789) × R
    0.000100609999999834 × 6371000     		dr = 640.986309998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10120646--1.10101471) × cos(-1.01839728) × R
    0.000191749999999935 × 0.524730969048012 × 6371000     		do = 641.03194747937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10120646--1.10101471) × cos(-1.01849789) × R
    0.000191749999999935 × 0.524645320306961 × 6371000     		du = 640.927315615589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01839728)-sin(-1.01849789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524730969048012-0.524645320306961)×R²
    abs(-1.10101471--1.10120646)×8.56487410511031e-05×R²
    0.000191749999999935×8.56487410511031e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.56487410511031e-05×40589641000000     		ar = 410859.169157165m²