Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10641 / 18931
↖ ↑ ↗
← N 60.275239°
W121.547241°		 ← 302.88 m → N 60.275239°
W121.541748°		 →
↑
302.88 m
↓
↑
302.88 m
↓
N 60.272515°
W121.547241°		 ← 302.91 m →
91 740 m²		 N 60.272515°
W121.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162376403808594 y=0.288871765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162376403808594 × 216)
    floor (0.162376403808594 × 65536)
    floor (10641.5)     		tx = 10641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288871765136719 × 216)
    floor (0.288871765136719 × 65536)
    floor (18931.5)     		ty = 18931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10641 / 18931 ti = "16/10641/18931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10641/18931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10641 ÷ 216
    10641 ÷ 65536     		x = 0.162368774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18931 ÷ 216
    18931 ÷ 65536     		y = 0.288864135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162368774414062 × 2 - 1) × π
    -0.675262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12139956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288864135742188 × 2 - 1) × π
    0.422271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32660576008543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12139956} λ = -2.12139956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32660576008543))-π/2
    2×atan(3.76823137500665)-π/2
    2×1.31139884719126-π/2
    2.62279769438252-1.57079632675     		φ = 1.05200137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12139956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.547241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05200137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.275239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10641 KachelY 18931 -2.12139956 1.05200137 -121.547241 60.275239
    Oben rechts KachelX + 1 10642 KachelY 18931 -2.12130368 1.05200137 -121.541748 60.275239
    Unten links KachelX 10641 KachelY + 1 18932 -2.12139956 1.05195383 -121.547241 60.272515
    Unten rechts KachelX + 1 10642 KachelY + 1 18932 -2.12130368 1.05195383 -121.541748 60.272515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05200137-1.05195383) × R
    4.75399999999571e-05 × 6371000     		dl = 302.877339999726m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05200137-1.05195383) × R
    4.75399999999571e-05 × 6371000     		dr = 302.877339999726m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12139956--2.12130368) × cos(1.05200137) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.495834017724088 × 6371000     		do = 302.880943560907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12139956--2.12130368) × cos(1.05195383) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.495875301722754 × 6371000     		du = 302.906161952592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05200137)-sin(1.05195383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495834017724088-0.495875301722754)×R²
    abs(-2.12130368--2.12139956)×4.12839986666524e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.12839986666524e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.12839986666524e-05×40589641000000     		ar = 91739.5935793572m²