Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10641 / 18926
↖ ↑ ↗
← N 60.288854°
W121.547241°		 ← 302.75 m → N 60.288854°
W121.541748°		 →
↑
302.75 m
↓
↑
302.75 m
↓
N 60.286132°
W121.547241°		 ← 302.78 m →
91 663 m²		 N 60.286132°
W121.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162376403808594 y=0.288795471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162376403808594 × 216)
    floor (0.162376403808594 × 65536)
    floor (10641.5)     		tx = 10641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288795471191406 × 216)
    floor (0.288795471191406 × 65536)
    floor (18926.5)     		ty = 18926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10641 / 18926 ti = "16/10641/18926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10641/18926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10641 ÷ 216
    10641 ÷ 65536     		x = 0.162368774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18926 ÷ 216
    18926 ÷ 65536     		y = 0.288787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162368774414062 × 2 - 1) × π
    -0.675262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12139956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288787841796875 × 2 - 1) × π
    0.42242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32708512908163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12139956} λ = -2.12139956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32708512908163))-π/2
    2×atan(3.77003818132721)-π/2
    2×1.31151766618489-π/2
    2.62303533236977-1.57079632675     		φ = 1.05223901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12139956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.547241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05223901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.288854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10641 KachelY 18926 -2.12139956 1.05223901 -121.547241 60.288854
    Oben rechts KachelX + 1 10642 KachelY 18926 -2.12130368 1.05223901 -121.541748 60.288854
    Unten links KachelX 10641 KachelY + 1 18927 -2.12139956 1.05219149 -121.547241 60.286132
    Unten rechts KachelX + 1 10642 KachelY + 1 18927 -2.12130368 1.05219149 -121.541748 60.286132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05223901-1.05219149) × R
    4.75200000000786e-05 × 6371000     		dl = 302.749920000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05223901-1.05219149) × R
    4.75200000000786e-05 × 6371000     		dr = 302.749920000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12139956--2.12130368) × cos(1.05223901) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.495627633035571 × 6371000     		do = 302.754873168477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12139956--2.12130368) × cos(1.05219149) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.495668905264712 × 6371000     		du = 302.780084370731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05223901)-sin(1.05219149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495627633035571-0.495668905264712)×R²
    abs(-2.12130368--2.12139956)×4.12722291410206e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.12722291410206e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.12722291410206e-05×40589641000000     		ar = 91662.8299936871m²