Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106409 / 44734
↖ ↑ ↗
← N 49.500242°
E112.261047°		 ← 198.36 m → N 49.500242°
E112.263794°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
N 49.498458°
E112.261047°		 ← 198.36 m →
39 353 m²		 N 49.498458°
E112.263794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811840057373047 y=0.341297149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811840057373047 × 217)
    floor (0.811840057373047 × 131072)
    floor (106409.5)     		tx = 106409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341297149658203 × 217)
    floor (0.341297149658203 × 131072)
    floor (44734.5)     		ty = 44734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106409 / 44734 ti = "17/106409/44734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106409/44734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106409 ÷ 217
    106409 ÷ 131072     		x = 0.811836242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44734 ÷ 217
    44734 ÷ 131072     		y = 0.341293334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811836242675781 × 2 - 1) × π
    0.623672485351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.95932490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341293334960938 × 2 - 1) × π
    0.317413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997183385896408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95932490} λ = 1.95932490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997183385896408))-π/2
    2×atan(2.71063624990023)-π/2
    2×1.21736926654105-π/2
    2.43473853308209-1.57079632675     		φ = 0.86394221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95932490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.261047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86394221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.500242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106409 KachelY 44734 1.95932490 0.86394221 112.261047 49.500242
    Oben rechts KachelX + 1 106410 KachelY 44734 1.95937284 0.86394221 112.263794 49.500242
    Unten links KachelX 106409 KachelY + 1 44735 1.95932490 0.86391107 112.261047 49.498458
    Unten rechts KachelX + 1 106410 KachelY + 1 44735 1.95937284 0.86391107 112.263794 49.498458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86394221-0.86391107) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86394221-0.86391107) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95932490-1.95937284) × cos(0.86394221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649444831607298 × 6371000     		do = 198.357168282704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95932490-1.95937284) × cos(0.86391107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649468510419732 × 6371000     		du = 198.364400401514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86394221)-sin(0.86391107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649444831607298-0.649468510419732)×R²
    abs(1.95937284-1.95932490)×2.36788124335918e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36788124335918e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36788124335918e-05×40589641000000     		ar = 39353.3791894989m²