Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10640 / 9620
↖ ↑ ↗
← N 59.422728°
W 63.105469°		 ← 621.45 m → N 59.422728°
W 63.094483°		 →
↑
621.49 m
↓
↑
621.49 m
↓
N 59.417139°
W 63.105469°		 ← 621.55 m →
386 256 m²		 N 59.417139°
W 63.094483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324722290039062 y=0.293594360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324722290039062 × 215)
    floor (0.324722290039062 × 32768)
    floor (10640.5)     		tx = 10640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293594360351562 × 215)
    floor (0.293594360351562 × 32768)
    floor (9620.5)     		ty = 9620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10640 / 9620 ti = "15/10640/9620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10640/9620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10640 ÷ 215
    10640 ÷ 32768     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9620 ÷ 215
    9620 ÷ 32768     		y = 0.2935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2935791015625 × 2 - 1) × π
    0.412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29698075612024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29698075612024))-π/2
    2×atan(3.65823487364251)-π/2
    2×1.30395928609032-π/2
    2.60791857218063-1.57079632675     		φ = 1.03712225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03712225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.422728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10640 KachelY 9620 -1.10139821 1.03712225 -63.105469 59.422728
    Oben rechts KachelX + 1 10641 KachelY 9620 -1.10120646 1.03712225 -63.094483 59.422728
    Unten links KachelX 10640 KachelY + 1 9621 -1.10139821 1.03702470 -63.105469 59.417139
    Unten rechts KachelX + 1 10641 KachelY + 1 9621 -1.10120646 1.03702470 -63.094483 59.417139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03712225-1.03702470) × R
    9.75500000000018e-05 × 6371000     		dl = 621.491050000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03712225-1.03702470) × R
    9.75500000000018e-05 × 6371000     		dr = 621.491050000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.10120646) × cos(1.03712225) × R
    0.000191749999999935 × 0.508699941456092 × 6371000     		do = 621.447814955253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.10120646) × cos(1.03702470) × R
    0.000191749999999935 × 0.508783924111344 × 6371000     		du = 621.550411463228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03712225)-sin(1.03702470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508699941456092-0.508783924111344)×R²
    abs(-1.10120646--1.10139821)×8.39826552521128e-05×R²
    0.000191749999999935×8.39826552521128e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.39826552521128e-05×40589641000000     		ar = 386256.136748518m²