Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10640 / 22896
↖ ↑ ↗
← S 57.984808°
W 63.105469°		 ← 647.64 m → S 57.984808°
W 63.094483°		 →
↑
647.55 m
↓
↑
647.55 m
↓
S 57.990632°
W 63.105469°		 ← 647.54 m →
419 347 m²		 S 57.990632°
W 63.094483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324722290039062 y=0.698745727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324722290039062 × 215)
    floor (0.324722290039062 × 32768)
    floor (10640.5)     		tx = 10640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.698745727539062 × 215)
    floor (0.698745727539062 × 32768)
    floor (22896.5)     		ty = 22896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10640 / 22896 ti = "15/10640/22896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10640/22896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10640 ÷ 215
    10640 ÷ 32768     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22896 ÷ 215
    22896 ÷ 32768     		y = 0.69873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69873046875 × 2 - 1) × π
    -0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24866036130322))-π/2
    2×atan(0.28688886697303)-π/2
    2×0.279385255370635-π/2
    0.55877051074127-1.57079632675     		φ = -1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10640 KachelY 22896 -1.10139821 -1.01202582 -63.105469 -57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 10641 KachelY 22896 -1.10120646 -1.01202582 -63.094483 -57.984808
    Unten links KachelX 10640 KachelY + 1 22897 -1.10139821 -1.01212746 -63.105469 -57.990632
    Unten rechts KachelX + 1 10641 KachelY + 1 22897 -1.10120646 -1.01212746 -63.094483 -57.990632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01202582--1.01212746) × R
    0.000101640000000014 × 6371000     		dl = 647.548440000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01202582--1.01212746) × R
    0.000101640000000014 × 6371000     		dr = 647.548440000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.10120646) × cos(-1.01202582) × R
    0.000191749999999935 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 647.644843521386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.10120646) × cos(-1.01212746) × R
    0.000191749999999935 × 0.530057918233995 × 6371000     		du = 647.53955768772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01202582)-sin(-1.01212746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.530057918233995)×R²
    abs(-1.10120646--1.10139821)×8.61840626567023e-05×R²
    0.000191749999999935×8.61840626567023e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.61840626567023e-05×40589641000000     		ar = 419347.319618603m²