Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10640 / 18930
↖ ↑ ↗
← N 60.277962°
W121.552734°		 ← 302.82 m → N 60.277962°
W121.547241°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
N 60.275239°
W121.552734°		 ← 302.85 m →
91 703 m²		 N 60.275239°
W121.547241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162361145019531 y=0.288856506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162361145019531 × 216)
    floor (0.162361145019531 × 65536)
    floor (10640.5)     		tx = 10640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288856506347656 × 216)
    floor (0.288856506347656 × 65536)
    floor (18930.5)     		ty = 18930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10640 / 18930 ti = "16/10640/18930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10640/18930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10640 ÷ 216
    10640 ÷ 65536     		x = 0.162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18930 ÷ 216
    18930 ÷ 65536     		y = 0.288848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.67529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12149543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288848876953125 × 2 - 1) × π
    0.42230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32670163388467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12149543} λ = -2.12149543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32670163388467))-π/2
    2×atan(3.76859266698393)-π/2
    2×1.31142261494744-π/2
    2.62284522989488-1.57079632675     		φ = 1.05204890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12149543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05204890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.277962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10640 KachelY 18930 -2.12149543 1.05204890 -121.552734 60.277962
    Oben rechts KachelX + 1 10641 KachelY 18930 -2.12139956 1.05204890 -121.547241 60.277962
    Unten links KachelX 10640 KachelY + 1 18931 -2.12149543 1.05200137 -121.552734 60.275239
    Unten rechts KachelX + 1 10641 KachelY + 1 18931 -2.12139956 1.05200137 -121.547241 60.275239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05204890-1.05200137) × R
    4.75300000000178e-05 × 6371000     		dl = 302.813630000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05204890-1.05200137) × R
    4.75300000000178e-05 × 6371000     		dr = 302.813630000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12149543--2.12139956) × cos(1.05204890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495792741289219 × 6371000     		do = 302.824142834223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12149543--2.12139956) × cos(1.05200137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495834017724088 × 6371000     		du = 302.849353975829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05204890)-sin(1.05200137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495792741289219-0.495834017724088)×R²
    abs(-2.12139956--2.12149543)×4.12764348683425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12764348683425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12764348683425e-05×40589641000000     		ar = 91703.0950990907m²