Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1064 / 975
↖ ↑ ↗
← N 79.568506°
W133.242187°		 ← 884.75 m → N 79.568506°
W133.198242°		 →
↑
885.06 m
↓
↑
885.06 m
↓
N 79.560546°
W133.242187°		 ← 885.41 m →
783 349 m²		 N 79.560546°
W133.198242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12994384765625 y=0.11907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12994384765625 × 213)
    floor (0.12994384765625 × 8192)
    floor (1064.5)     		tx = 1064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11907958984375 × 213)
    floor (0.11907958984375 × 8192)
    floor (975.5)     		ty = 975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1064 / 975 ti = "13/1064/975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1064/975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1064 ÷ 213
    1064 ÷ 8192     		x = 0.1298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 975 ÷ 213
    975 ÷ 8192     		y = 0.1190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1298828125 × 2 - 1) × π
    -0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1190185546875 × 2 - 1) × π
    0.761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39377701942712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32551487} λ = -2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39377701942712))-π/2
    2×atan(10.9547923650573)-π/2
    2×1.47976436862867-π/2
    2.95952873725734-1.57079632675     		φ = 1.38873241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38873241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.568506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1064 KachelY 975 -2.32551487 1.38873241 -133.242187 79.568506
    Oben rechts KachelX + 1 1065 KachelY 975 -2.32474788 1.38873241 -133.198242 79.568506
    Unten links KachelX 1064 KachelY + 1 976 -2.32551487 1.38859349 -133.242187 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 1065 KachelY + 1 976 -2.32474788 1.38859349 -133.198242 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38873241-1.38859349) × R
    0.000138919999999931 × 6371000     		dl = 885.059319999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38873241-1.38859349) × R
    0.000138919999999931 × 6371000     		dr = 885.059319999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32551487--2.32474788) × cos(1.38873241) × R
    0.000766990000000245 × 0.181059762194597 × 6371000     		do = 884.747313053174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32551487--2.32474788) × cos(1.38859349) × R
    0.000766990000000245 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 885.414916496922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38873241)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181059762194597-0.181196384390541)×R²
    abs(-2.32474788--2.32551487)×0.000136622195944319×R²
    0.000766990000000245×0.000136622195944319×6371000²
    0.000766990000000245×0.000136622195944319×40589641000000     		ar = 783349.29084653m²