Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10639 / 22926
↖ ↑ ↗
← S 58.159112°
W 63.116455°		 ← 644.46 m → S 58.159112°
W 63.105469°		 →
↑
644.43 m
↓
↑
644.43 m
↓
S 58.164908°
W 63.116455°		 ← 644.35 m →
415 271 m²		 S 58.164908°
W 63.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324691772460938 y=0.699661254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324691772460938 × 215)
    floor (0.324691772460938 × 32768)
    floor (10639.5)     		tx = 10639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699661254882812 × 215)
    floor (0.699661254882812 × 32768)
    floor (22926.5)     		ty = 22926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10639 / 22926 ti = "15/10639/22926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10639/22926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10639 ÷ 215
    10639 ÷ 32768     		x = 0.324676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22926 ÷ 215
    22926 ÷ 32768     		y = 0.69964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.35064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10158995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.3992919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25441278925763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10158995} λ = -1.10158995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25441278925763))-π/2
    2×atan(0.285243296983965)-π/2
    2×0.277864162440539-π/2
    0.555728324881077-1.57079632675     		φ = -1.01506800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10158995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01506800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.159112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10639 KachelY 22926 -1.10158995 -1.01506800 -63.116455 -58.159112
    Oben rechts KachelX + 1 10640 KachelY 22926 -1.10139821 -1.01506800 -63.105469 -58.159112
    Unten links KachelX 10639 KachelY + 1 22927 -1.10158995 -1.01516915 -63.116455 -58.164908
    Unten rechts KachelX + 1 10640 KachelY + 1 22927 -1.10139821 -1.01516915 -63.105469 -58.164908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01506800--1.01516915) × R
    0.000101149999999883 × 6371000     		dl = 644.426649999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01506800--1.01516915) × R
    0.000101149999999883 × 6371000     		dr = 644.426649999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10158995--1.10139821) × cos(-1.01506800) × R
    0.000191739999999996 × 0.527562165651074 × 6371000     		do = 644.457037388766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10158995--1.10139821) × cos(-1.01516915) × R
    0.000191739999999996 × 0.527476234365703 × 6371000     		du = 644.352065832436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01506800)-sin(-1.01516915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527562165651074-0.527476234365703)×R²
    abs(-1.10139821--1.10158995)×8.59312853708216e-05×R²
    0.000191739999999996×8.59312853708216e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.59312853708216e-05×40589641000000     		ar = 415271.466791992m²