Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106330 / 99938
↖ ↑ ↗
← S 68.238859°
E112.044067°		 ← 113.23 m → S 68.238859°
E112.046814°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.239877°
E112.044067°		 ← 113.23 m →
12 819 m²		 S 68.239877°
E112.046814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811237335205078 y=0.762470245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811237335205078 × 217)
    floor (0.811237335205078 × 131072)
    floor (106330.5)     		tx = 106330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762470245361328 × 217)
    floor (0.762470245361328 × 131072)
    floor (99938.5)     		ty = 99938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106330 / 99938 ti = "17/106330/99938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106330/99938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106330 ÷ 217
    106330 ÷ 131072     		x = 0.811233520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99938 ÷ 217
    99938 ÷ 131072     		y = 0.762466430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811233520507812 × 2 - 1) × π
    0.622467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95553788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762466430664062 × 2 - 1) × π
    -0.524932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64912522072917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95553788} λ = 1.95553788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64912522072917))-π/2
    2×atan(0.19221798340323)-π/2
    2×0.189901776894221-π/2
    0.379803553788442-1.57079632675     		φ = -1.19099277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95553788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.044067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19099277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.238859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106330 KachelY 99938 1.95553788 -1.19099277 112.044067 -68.238859
    Oben rechts KachelX + 1 106331 KachelY 99938 1.95558582 -1.19099277 112.046814 -68.238859
    Unten links KachelX 106330 KachelY + 1 99939 1.95553788 -1.19101054 112.044067 -68.239877
    Unten rechts KachelX + 1 106331 KachelY + 1 99939 1.95558582 -1.19101054 112.046814 -68.239877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19099277--1.19101054) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19099277--1.19101054) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95553788-1.95558582) × cos(-1.19099277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370738032399779 × 6371000     		do = 113.232937891772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95553788-1.95558582) × cos(-1.19101054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370721528676182 × 6371000     		du = 113.22789722978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19099277)-sin(-1.19101054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370738032399779-0.370721528676182)×R²
    abs(1.95558582-1.95553788)×1.65037235969057e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65037235969057e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65037235969057e-05×40589641000000     		ar = 12819.1178975269m²