Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106328 / 99940
↖ ↑ ↗
← S 68.240896°
E112.038574°		 ← 113.22 m → S 68.240896°
E112.041321°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 68.241914°
E112.038574°		 ← 113.22 m →
12 818 m²		 S 68.241914°
E112.041321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811222076416016 y=0.762485504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811222076416016 × 217)
    floor (0.811222076416016 × 131072)
    floor (106328.5)     		tx = 106328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762485504150391 × 217)
    floor (0.762485504150391 × 131072)
    floor (99940.5)     		ty = 99940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106328 / 99940 ti = "17/106328/99940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106328/99940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106328 ÷ 217
    106328 ÷ 131072     		x = 0.81121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99940 ÷ 217
    99940 ÷ 131072     		y = 0.762481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81121826171875 × 2 - 1) × π
    0.6224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95544201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.52496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64922109452841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95544201} λ = 1.95544201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64922109452841))-π/2
    2×atan(0.192199555618264)-π/2
    2×0.189884005653716-π/2
    0.379768011307432-1.57079632675     		φ = -1.19102832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95544201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19102832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.240896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106328 KachelY 99940 1.95544201 -1.19102832 112.038574 -68.240896
    Oben rechts KachelX + 1 106329 KachelY 99940 1.95548995 -1.19102832 112.041321 -68.240896
    Unten links KachelX 106328 KachelY + 1 99941 1.95544201 -1.19104609 112.038574 -68.241914
    Unten rechts KachelX + 1 106329 KachelY + 1 99941 1.95548995 -1.19104609 112.041321 -68.241914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19102832--1.19104609) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19102832--1.19104609) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95544201-1.95548995) × cos(-1.19102832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370705015548015 × 6371000     		do = 113.22285369539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95544201-1.95548995) × cos(-1.19104609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37068851159023 × 6371000     		du = 113.21781296187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19102832)-sin(-1.19104609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370705015548015-0.37068851159023)×R²
    abs(1.95548995-1.95544201)×1.65039577851855e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65039577851855e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65039577851855e-05×40589641000000     		ar = 12817.9762348353m²