Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106326 / 42619
↖ ↑ ↗
← N 53.128646°
E112.033081°		 ← 183.22 m → N 53.128646°
E112.035827°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.126998°
E112.033081°		 ← 183.23 m →
33 573 m²		 N 53.126998°
E112.035827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811206817626953 y=0.325160980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811206817626953 × 217)
    floor (0.811206817626953 × 131072)
    floor (106326.5)     		tx = 106326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325160980224609 × 217)
    floor (0.325160980224609 × 131072)
    floor (42619.5)     		ty = 42619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106326 / 42619 ti = "17/106326/42619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106326/42619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106326 ÷ 217
    106326 ÷ 131072     		x = 0.811203002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42619 ÷ 217
    42619 ÷ 131072     		y = 0.325157165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811203002929688 × 2 - 1) × π
    0.622406005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95534614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325157165527344 × 2 - 1) × π
    0.349685668945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.09856992859283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95534614} λ = 1.95534614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09856992859283))-π/2
    2×atan(2.99987292246568)-π/2
    2×1.24903306416034-π/2
    2.49806612832069-1.57079632675     		φ = 0.92726980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95534614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.033081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92726980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.128646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106326 KachelY 42619 1.95534614 0.92726980 112.033081 53.128646
    Oben rechts KachelX + 1 106327 KachelY 42619 1.95539407 0.92726980 112.035827 53.128646
    Unten links KachelX 106326 KachelY + 1 42620 1.95534614 0.92724104 112.033081 53.126998
    Unten rechts KachelX + 1 106327 KachelY + 1 42620 1.95539407 0.92724104 112.035827 53.126998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92726980-0.92724104) × R
    2.87600000000721e-05 × 6371000     		dl = 183.229960000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92726980-0.92724104) × R
    2.87600000000721e-05 × 6371000     		dr = 183.229960000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95534614-1.95539407) × cos(0.92726980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600020334207465 × 6371000     		do = 183.223427294982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95534614-1.95539407) × cos(0.92724104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600043341520692 × 6371000     		du = 183.230452854854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92726980)-sin(0.92724104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600020334207465-0.600043341520692)×R²
    abs(1.95539407-1.95534614)×2.30073132266861e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30073132266861e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30073132266861e-05×40589641000000     		ar = 33572.6649033127m²