Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106325 / 42614
↖ ↑ ↗
← N 53.136885°
E112.030335°		 ← 183.23 m → N 53.136885°
E112.033081°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 53.135238°
E112.030335°		 ← 183.23 m →
33 562 m²		 N 53.135238°
E112.033081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811199188232422 y=0.325122833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811199188232422 × 217)
    floor (0.811199188232422 × 131072)
    floor (106325.5)     		tx = 106325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325122833251953 × 217)
    floor (0.325122833251953 × 131072)
    floor (42614.5)     		ty = 42614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106325 / 42614 ti = "17/106325/42614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106325/42614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106325 ÷ 217
    106325 ÷ 131072     		x = 0.811195373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42614 ÷ 217
    42614 ÷ 131072     		y = 0.325119018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811195373535156 × 2 - 1) × π
    0.622390747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.95529820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325119018554688 × 2 - 1) × π
    0.349761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09880961309093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95529820} λ = 1.95529820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09880961309093))-π/2
    2×atan(3.00059203167769)-π/2
    2×1.24910496505278-π/2
    2.49820993010555-1.57079632675     		φ = 0.92741360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95529820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.030335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92741360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.136885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106325 KachelY 42614 1.95529820 0.92741360 112.030335 53.136885
    Oben rechts KachelX + 1 106326 KachelY 42614 1.95534614 0.92741360 112.033081 53.136885
    Unten links KachelX 106325 KachelY + 1 42615 1.95529820 0.92738485 112.030335 53.135238
    Unten rechts KachelX + 1 106326 KachelY + 1 42615 1.95534614 0.92738485 112.033081 53.135238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92741360-0.92738485) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dl = 183.166249999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92741360-0.92738485) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dr = 183.166249999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95529820-1.95534614) × cos(0.92741360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599905290197222 × 6371000     		do = 183.226517188281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95529820-1.95534614) × cos(0.92738485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599928291991217 × 6371000     		du = 183.233542528233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92741360)-sin(0.92738485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599905290197222-0.599928291991217)×R²
    abs(1.95534614-1.95529820)×2.3001793995503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3001793995503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3001793995503e-05×40589641000000     		ar = 33561.557458804m²