Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10632 / 5784
↖ ↑ ↗
← N 81.394229°
W121.596680°		 ← 91.40 m → N 81.394229°
W121.591187°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
N 81.393406°
W121.596680°		 ← 91.40 m →
8 356 m²		 N 81.393406°
W121.591187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162239074707031 y=0.0882644653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162239074707031 × 216)
    floor (0.162239074707031 × 65536)
    floor (10632.5)     		tx = 10632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0882644653320312 × 216)
    floor (0.0882644653320312 × 65536)
    floor (5784.5)     		ty = 5784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10632 / 5784 ti = "16/10632/5784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10632/5784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10632 ÷ 216
    10632 ÷ 65536     		x = 0.1622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5784 ÷ 216
    5784 ÷ 65536     		y = 0.0882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1622314453125 × 2 - 1) × π
    -0.675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12226242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0882568359375 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58705859869519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12226242} λ = -2.12226242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58705859869519))-π/2
    2×atan(13.2906210026502)-π/2
    2×1.49569680262321-π/2
    2.99139360524642-1.57079632675     		φ = 1.42059728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12226242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42059728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.394229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10632 KachelY 5784 -2.12226242 1.42059728 -121.596680 81.394229
    Oben rechts KachelX + 1 10633 KachelY 5784 -2.12216655 1.42059728 -121.591187 81.394229
    Unten links KachelX 10632 KachelY + 1 5785 -2.12226242 1.42058293 -121.596680 81.393406
    Unten rechts KachelX + 1 10633 KachelY + 1 5785 -2.12216655 1.42058293 -121.591187 81.393406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42059728-1.42058293) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42059728-1.42058293) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12226242--2.12216655) × cos(1.42059728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149634941225908 × 6371000     		do = 91.3951920654513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12226242--2.12216655) × cos(1.42058293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149649129648345 × 6371000     		du = 91.4038581803514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42059728)-sin(1.42058293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149634941225908-0.149649129648345)×R²
    abs(-2.12216655--2.12226242)×1.41884224369171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41884224369171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41884224369171e-05×40589641000000     		ar = 8356.09647470671m²