Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10631 / 5788
↖ ↑ ↗
← N 81.390940°
W121.602173°		 ← 91.43 m → N 81.390940°
W121.596680°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
N 81.390118°
W121.602173°		 ← 91.44 m →
8 359 m²		 N 81.390118°
W121.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162223815917969 y=0.0883255004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162223815917969 × 216)
    floor (0.162223815917969 × 65536)
    floor (10631.5)     		tx = 10631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0883255004882812 × 216)
    floor (0.0883255004882812 × 65536)
    floor (5788.5)     		ty = 5788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10631 / 5788 ti = "16/10631/5788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10631/5788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10631 ÷ 216
    10631 ÷ 65536     		x = 0.162216186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5788 ÷ 216
    5788 ÷ 65536     		y = 0.08831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162216186523438 × 2 - 1) × π
    -0.675567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12235829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08831787109375 × 2 - 1) × π
    0.8233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12235829} λ = -2.12235829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58667510349823))-π/2
    2×atan(13.2855250905224)-π/2
    2×1.49566810504191-π/2
    2.99133621008382-1.57079632675     		φ = 1.42053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12235829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.602173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.390940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10631 KachelY 5788 -2.12235829 1.42053988 -121.602173 81.390940
    Oben rechts KachelX + 1 10632 KachelY 5788 -2.12226242 1.42053988 -121.596680 81.390940
    Unten links KachelX 10631 KachelY + 1 5789 -2.12235829 1.42052553 -121.602173 81.390118
    Unten rechts KachelX + 1 10632 KachelY + 1 5789 -2.12226242 1.42052553 -121.596680 81.390118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42053988-1.42052553) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42053988-1.42052553) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12235829--2.12226242) × cos(1.42053988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149691694730747 × 6371000     		do = 91.4298564121116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12235829--2.12226242) × cos(1.42052553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149705883029902 × 6371000     		du = 91.4385224517125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42053988)-sin(1.42052553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149691694730747-0.149705883029902)×R²
    abs(-2.12226242--2.12235829)×1.41882991548936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41882991548936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41882991548936e-05×40589641000000     		ar = 8359.26561957582m²