Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10630 / 5759
↖ ↑ ↗
← N 81.414754°
W121.607666°		 ← 91.19 m → N 81.414754°
W121.602173°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 81.413933°
W121.607666°		 ← 91.20 m →
8 320 m²		 N 81.413933°
W121.602173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162208557128906 y=0.0878829956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162208557128906 × 216)
    floor (0.162208557128906 × 65536)
    floor (10630.5)     		tx = 10630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0878829956054688 × 216)
    floor (0.0878829956054688 × 65536)
    floor (5759.5)     		ty = 5759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10630 / 5759 ti = "16/10630/5759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10630/5759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10630 ÷ 216
    10630 ÷ 65536     		x = 0.162200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5759 ÷ 216
    5759 ÷ 65536     		y = 0.0878753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.67559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12245417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0878753662109375 × 2 - 1) × π
    0.824249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58945544367619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12245417} λ = -2.12245417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58945544367619))-π/2
    2×atan(13.3225147678315)-π/2
    2×1.49587591617931-π/2
    2.99175183235863-1.57079632675     		φ = 1.42095551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12245417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.607666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42095551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.414754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10630 KachelY 5759 -2.12245417 1.42095551 -121.607666 81.414754
    Oben rechts KachelX + 1 10631 KachelY 5759 -2.12235829 1.42095551 -121.602173 81.414754
    Unten links KachelX 10630 KachelY + 1 5760 -2.12245417 1.42094119 -121.607666 81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 10631 KachelY + 1 5760 -2.12235829 1.42094119 -121.602173 81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42095551-1.42094119) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42095551-1.42094119) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12245417--2.12235829) × cos(1.42095551) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149280734831636 × 6371000     		do = 91.1883578073328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12245417--2.12235829) × cos(1.42094119) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 91.1970071753538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42095551)-sin(1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149280734831636-0.149294894358631)×R²
    abs(-2.12235829--2.12245417)×1.4159526994989e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4159526994989e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4159526994989e-05×40589641000000     		ar = 8319.75646793672m²