Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1063 / 1069
↖ ↑ ↗
← S  7.885147°
E  6.855469°		 ← 19.361 km → S  7.885147°
E  7.031250°		 →
↑
19.357 km
↓
↑
19.357 km
↓
S  8.059230°
E  6.855469°		 ← 19.353 km →
374.696 km²		 S  8.059230°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519287109375 y=0.522216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519287109375 × 211)
    floor (0.519287109375 × 2048)
    floor (1063.5)     		tx = 1063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522216796875 × 211)
    floor (0.522216796875 × 2048)
    floor (1069.5)     		ty = 1069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1063 / 1069 ti = "11/1063/1069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1063/1069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1063 ÷ 211
    1063 ÷ 2048     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1069 ÷ 211
    1069 ÷ 2048     		y = 0.52197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138058270905762))-π/2
    2×atan(0.871047933514901)-π/2
    2×0.716587272349182-π/2
    1.43317454469836-1.57079632675     		φ = -0.13762178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13762178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.885147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1063 KachelY 1069 0.11965050 -0.13762178 6.855469 -7.885147
    Oben rechts KachelX + 1 1064 KachelY 1069 0.12271846 -0.13762178 7.031250 -7.885147
    Unten links KachelX 1063 KachelY + 1 1070 0.11965050 -0.14066009 6.855469 -8.059230
    Unten rechts KachelX + 1 1064 KachelY + 1 1070 0.12271846 -0.14066009 7.031250 -8.059230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13762178--0.14066009) × R
    0.00303830999999999 × 6371000     		dl = 19357.0730099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13762178--0.14066009) × R
    0.00303830999999999 × 6371000     		dr = 19357.0730099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12271846) × cos(-0.13762178) × R
    0.00306795999999999 × 0.990545059830871 × 6371000     		do = 19361.1671532248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12271846) × cos(-0.14066009) × R
    0.00306795999999999 × 0.990123669476922 × 6371000     		du = 19352.9306686766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13762178)-sin(-0.14066009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990545059830871-0.990123669476922)×R²
    abs(0.12271846-0.11965050)×0.000421390353948947×R²
    0.00306795999999999×0.000421390353948947×6371000²
    0.00306795999999999×0.000421390353948947×40589641000000     		ar = 374696097.27266m²