Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106288 / 42640
↖ ↑ ↗
← N 53.094024°
E111.928711°		 ← 183.41 m → N 53.094024°
E111.931458°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
N 53.092375°
E111.928711°		 ← 183.42 m →
33 630 m²		 N 53.092375°
E111.931458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810916900634766 y=0.325321197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810916900634766 × 217)
    floor (0.810916900634766 × 131072)
    floor (106288.5)     		tx = 106288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325321197509766 × 217)
    floor (0.325321197509766 × 131072)
    floor (42640.5)     		ty = 42640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106288 / 42640 ti = "17/106288/42640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106288/42640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106288 ÷ 217
    106288 ÷ 131072     		x = 0.8109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42640 ÷ 217
    42640 ÷ 131072     		y = 0.3253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8109130859375 × 2 - 1) × π
    0.621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95352453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3253173828125 × 2 - 1) × π
    0.349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09756325370081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95352453} λ = 1.95352453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09756325370081))-π/2
    2×atan(2.99685454523257)-π/2
    2×1.24873092983499-π/2
    2.49746185966998-1.57079632675     		φ = 0.92666553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95352453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92666553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.094024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106288 KachelY 42640 1.95352453 0.92666553 111.928711 53.094024
    Oben rechts KachelX + 1 106289 KachelY 42640 1.95357247 0.92666553 111.931458 53.094024
    Unten links KachelX 106288 KachelY + 1 42641 1.95352453 0.92663675 111.928711 53.092375
    Unten rechts KachelX + 1 106289 KachelY + 1 42641 1.95357247 0.92663675 111.931458 53.092375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92666553-0.92663675) × R
    2.87799999999505e-05 × 6371000     		dl = 183.357379999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92666553-0.92663675) × R
    2.87799999999505e-05 × 6371000     		dr = 183.357379999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95352453-1.95357247) × cos(0.92666553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60050363141591 × 6371000     		do = 183.409265997771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95352453-1.95357247) × cos(0.92663675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600526644289195 × 6371000     		du = 183.416294721624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92666553)-sin(0.92663675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60050363141591-0.600526644289195)×R²
    abs(1.95357247-1.95352453)×2.30128732853219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30128732853219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30128732853219e-05×40589641000000     		ar = 33630.0868673885m²