Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106288 / 100175
↖ ↑ ↗
← S 68.478918°
E111.928711°		 ← 112.04 m → S 68.478918°
E111.931458°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.479925°
E111.928711°		 ← 112.04 m →
12 549 m²		 S 68.479925°
E111.931458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810916900634766 y=0.764278411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810916900634766 × 217)
    floor (0.810916900634766 × 131072)
    floor (106288.5)     		tx = 106288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764278411865234 × 217)
    floor (0.764278411865234 × 131072)
    floor (100175.5)     		ty = 100175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106288 / 100175 ti = "17/106288/100175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106288/100175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106288 ÷ 217
    106288 ÷ 131072     		x = 0.8109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100175 ÷ 217
    100175 ÷ 131072     		y = 0.764274597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8109130859375 × 2 - 1) × π
    0.621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95352453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764274597167969 × 2 - 1) × π
    -0.528549194335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66048626593913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95352453} λ = 1.95352453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66048626593913))-π/2
    2×atan(0.190046544467769)-π/2
    2×0.187806868886404-π/2
    0.375613737772807-1.57079632675     		φ = -1.19518259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95352453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19518259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.478918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106288 KachelY 100175 1.95352453 -1.19518259 111.928711 -68.478918
    Oben rechts KachelX + 1 106289 KachelY 100175 1.95357247 -1.19518259 111.931458 -68.478918
    Unten links KachelX 106288 KachelY + 1 100176 1.95352453 -1.19520017 111.928711 -68.479925
    Unten rechts KachelX + 1 106289 KachelY + 1 100176 1.95357247 -1.19520017 111.931458 -68.479925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19518259--1.19520017) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19518259--1.19520017) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95352453-1.95357247) × cos(-1.19518259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366843546833238 × 6371000     		do = 112.043461755693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95352453-1.95357247) × cos(-1.19520017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366827192407533 × 6371000     		du = 112.03846669312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19518259)-sin(-1.19520017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366843546833238-0.366827192407533)×R²
    abs(1.95357247-1.95352453)×1.63544257045789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63544257045789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63544257045789e-05×40589641000000     		ar = 12548.8322426661m²