Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106282 / 42762
↖ ↑ ↗
← N 52.892335°
E111.912231°		 ← 184.27 m → N 52.892335°
E111.914978°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
N 52.890678°
E111.912231°		 ← 184.27 m →
33 952 m²		 N 52.890678°
E111.914978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810871124267578 y=0.326251983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810871124267578 × 217)
    floor (0.810871124267578 × 131072)
    floor (106282.5)     		tx = 106282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326251983642578 × 217)
    floor (0.326251983642578 × 131072)
    floor (42762.5)     		ty = 42762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106282 / 42762 ti = "17/106282/42762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106282/42762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106282 ÷ 217
    106282 ÷ 131072     		x = 0.810867309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42762 ÷ 217
    42762 ÷ 131072     		y = 0.326248168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810867309570312 × 2 - 1) × π
    0.621734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95323691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326248168945312 × 2 - 1) × π
    0.347503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09171495194716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95323691} λ = 1.95323691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09171495194716))-π/2
    2×atan(2.97937918593605)-π/2
    2×1.24697085802408-π/2
    2.49394171604816-1.57079632675     		φ = 0.92314539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95323691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.912231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92314539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.892335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106282 KachelY 42762 1.95323691 0.92314539 111.912231 52.892335
    Oben rechts KachelX + 1 106283 KachelY 42762 1.95328485 0.92314539 111.914978 52.892335
    Unten links KachelX 106282 KachelY + 1 42763 1.95323691 0.92311647 111.912231 52.890678
    Unten rechts KachelX + 1 106283 KachelY + 1 42763 1.95328485 0.92311647 111.914978 52.890678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92314539-0.92311647) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dl = 184.249319999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92314539-0.92311647) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dr = 184.249319999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95323691-1.95328485) × cos(0.92314539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603314686558381 × 6371000     		do = 184.267834594841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95323691-1.95328485) × cos(0.92311647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60333775009926 × 6371000     		du = 184.274878793881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92314539)-sin(0.92311647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603314686558381-0.60333775009926)×R²
    abs(1.95328485-1.95323691)×2.3063540878776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3063540878776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3063540878776e-05×40589641000000     		ar = 33951.8721688575m²