Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106281 / 45091
↖ ↑ ↗
← N 48.859294°
E111.909485°		 ← 200.90 m → N 48.859294°
E111.912231°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.857487°
E111.909485°		 ← 200.91 m →
40 370 m²		 N 48.857487°
E111.912231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810863494873047 y=0.344020843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810863494873047 × 217)
    floor (0.810863494873047 × 131072)
    floor (106281.5)     		tx = 106281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344020843505859 × 217)
    floor (0.344020843505859 × 131072)
    floor (45091.5)     		ty = 45091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106281 / 45091 ti = "17/106281/45091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106281/45091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106281 ÷ 217
    106281 ÷ 131072     		x = 0.810859680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45091 ÷ 217
    45091 ÷ 131072     		y = 0.344017028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810859680175781 × 2 - 1) × π
    0.621719360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.95318898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344017028808594 × 2 - 1) × π
    0.311965942382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.980069912732048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95318898} λ = 1.95318898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980069912732048))-π/2
    2×atan(2.66464252785652)-π/2
    2×1.21177593898976-π/2
    2.42355187797951-1.57079632675     		φ = 0.85275555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95318898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.909485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85275555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.859294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106281 KachelY 45091 1.95318898 0.85275555 111.909485 48.859294
    Oben rechts KachelX + 1 106282 KachelY 45091 1.95323691 0.85275555 111.912231 48.859294
    Unten links KachelX 106281 KachelY + 1 45092 1.95318898 0.85272401 111.909485 48.857487
    Unten rechts KachelX + 1 106282 KachelY + 1 45092 1.95323691 0.85272401 111.912231 48.857487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85275555-0.85272401) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85275555-0.85272401) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95318898-1.95323691) × cos(0.85275555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6579104521416 × 6371000     		do = 200.9008712243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95318898-1.95323691) × cos(0.85272401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657934204467473 × 6371000     		du = 200.908124282745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85275555)-sin(0.85272401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6579104521416-0.657934204467473)×R²
    abs(1.95323691-1.95318898)×2.37523258724837e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37523258724837e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37523258724837e-05×40589641000000     		ar = 40370.018994196m²