Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106278 / 100036
↖ ↑ ↗
← S 68.338432°
E111.901245°		 ← 112.74 m → S 68.338432°
E111.903992°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.339445°
E111.901245°		 ← 112.73 m →
12 706 m²		 S 68.339445°
E111.903992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810840606689453 y=0.763217926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810840606689453 × 217)
    floor (0.810840606689453 × 131072)
    floor (106278.5)     		tx = 106278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763217926025391 × 217)
    floor (0.763217926025391 × 131072)
    floor (100036.5)     		ty = 100036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106278 / 100036 ti = "17/106278/100036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106278/100036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106278 ÷ 217
    106278 ÷ 131072     		x = 0.810836791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100036 ÷ 217
    100036 ÷ 131072     		y = 0.763214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810836791992188 × 2 - 1) × π
    0.621673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95304516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.52642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65382303689194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95304516} λ = 1.95304516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65382303689194))-π/2
    2×atan(0.1913170964116)-π/2
    2×0.18903284474961-π/2
    0.378065689499221-1.57079632675     		φ = -1.19273064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95304516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19273064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.338432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106278 KachelY 100036 1.95304516 -1.19273064 111.901245 -68.338432
    Oben rechts KachelX + 1 106279 KachelY 100036 1.95309310 -1.19273064 111.903992 -68.338432
    Unten links KachelX 106278 KachelY + 1 100037 1.95304516 -1.19274833 111.901245 -68.339445
    Unten rechts KachelX + 1 106279 KachelY + 1 100037 1.95309310 -1.19274833 111.903992 -68.339445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19273064--1.19274833) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19273064--1.19274833) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95304516-1.95309310) × cos(-1.19273064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369123448353671 × 6371000     		do = 112.739802364698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95304516-1.95309310) × cos(-1.19274833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369107007557097 × 6371000     		du = 112.734780922238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19273064)-sin(-1.19274833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369123448353671-0.369107007557097)×R²
    abs(1.95309310-1.95304516)×1.64407965740354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64407965740354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64407965740354e-05×40589641000000     		ar = 12705.8298529689m²