Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106277 / 100032
↖ ↑ ↗
← S 68.334376°
E111.898499°		 ← 112.74 m → S 68.334376°
E111.901245°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.335390°
E111.898499°		 ← 112.73 m →
12 713 m²		 S 68.335390°
E111.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810832977294922 y=0.763187408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810832977294922 × 217)
    floor (0.810832977294922 × 131072)
    floor (106277.5)     		tx = 106277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763187408447266 × 217)
    floor (0.763187408447266 × 131072)
    floor (100032.5)     		ty = 100032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106277 / 100032 ti = "17/106277/100032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106277/100032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106277 ÷ 217
    106277 ÷ 131072     		x = 0.810829162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100032 ÷ 217
    100032 ÷ 131072     		y = 0.76318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810829162597656 × 2 - 1) × π
    0.621658325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.95299723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65363128929346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95299723} λ = 1.95299723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65363128929346))-π/2
    2×atan(0.191353784522702)-π/2
    2×0.189068237170689-π/2
    0.378136474341379-1.57079632675     		φ = -1.19265985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95299723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.898499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19265985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.334376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106277 KachelY 100032 1.95299723 -1.19265985 111.898499 -68.334376
    Oben rechts KachelX + 1 106278 KachelY 100032 1.95304516 -1.19265985 111.901245 -68.334376
    Unten links KachelX 106277 KachelY + 1 100033 1.95299723 -1.19267755 111.898499 -68.335390
    Unten rechts KachelX + 1 106278 KachelY + 1 100033 1.95304516 -1.19267755 111.901245 -68.335390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19265985--1.19267755) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19265985--1.19267755) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95299723-1.95304516) × cos(-1.19265985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369189238265422 × 6371000     		do = 112.736375250952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95299723-1.95304516) × cos(-1.19267755) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369172788637516 × 6371000     		du = 112.731352159182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19265985)-sin(-1.19267755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369189238265422-0.369172788637516)×R²
    abs(1.95304516-1.95299723)×1.64496279067006e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64496279067006e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64496279067006e-05×40589641000000     		ar = 12712.6257884267m²