Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106273 / 99873
↖ ↑ ↗
← S 68.172577°
E111.887512°		 ← 113.56 m → S 68.172577°
E111.890259°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 68.173598°
E111.887512°		 ← 113.56 m →
12 892 m²		 S 68.173598°
E111.890259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810802459716797 y=0.761974334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810802459716797 × 217)
    floor (0.810802459716797 × 131072)
    floor (106273.5)     		tx = 106273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761974334716797 × 217)
    floor (0.761974334716797 × 131072)
    floor (99873.5)     		ty = 99873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106273 / 99873 ti = "17/106273/99873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106273/99873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106273 ÷ 217
    106273 ÷ 131072     		x = 0.810798645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99873 ÷ 217
    99873 ÷ 131072     		y = 0.761970520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810798645019531 × 2 - 1) × π
    0.621597290039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.95280548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761970520019531 × 2 - 1) × π
    -0.523941040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64600932225387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95280548} λ = 1.95280548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64600932225387))-π/2
    2×atan(0.19281784919977)-π/2
    2×0.190480204334031-π/2
    0.380960408668061-1.57079632675     		φ = -1.18983592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95280548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.887512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18983592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.172577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106273 KachelY 99873 1.95280548 -1.18983592 111.887512 -68.172577
    Oben rechts KachelX + 1 106274 KachelY 99873 1.95285342 -1.18983592 111.890259 -68.172577
    Unten links KachelX 106273 KachelY + 1 99874 1.95280548 -1.18985374 111.887512 -68.173598
    Unten rechts KachelX + 1 106274 KachelY + 1 99874 1.95285342 -1.18985374 111.890259 -68.173598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18983592--1.18985374) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18983592--1.18985374) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95280548-1.95285342) × cos(-1.18983592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371812194037036 × 6371000     		do = 113.561014504711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95280548-1.95285342) × cos(-1.18985374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371795651529927 × 6371000     		du = 113.555961997236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18983592)-sin(-1.18985374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371812194037036-0.371795651529927)×R²
    abs(1.95285342-1.95280548)×1.65425071094183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65425071094183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65425071094183e-05×40589641000000     		ar = 12892.4337129692m²