Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106267 / 42812
↖ ↑ ↗
← N 52.809403°
E111.871033°		 ← 184.62 m → N 52.809403°
E111.873780°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.807743°
E111.871033°		 ← 184.63 m →
34 087 m²		 N 52.807743°
E111.873780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810756683349609 y=0.326633453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810756683349609 × 217)
    floor (0.810756683349609 × 131072)
    floor (106267.5)     		tx = 106267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326633453369141 × 217)
    floor (0.326633453369141 × 131072)
    floor (42812.5)     		ty = 42812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106267 / 42812 ti = "17/106267/42812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106267/42812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106267 ÷ 217
    106267 ÷ 131072     		x = 0.810752868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42812 ÷ 217
    42812 ÷ 131072     		y = 0.326629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810752868652344 × 2 - 1) × π
    0.621505737304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.95251786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326629638671875 × 2 - 1) × π
    0.34674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08931810696616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95251786} λ = 1.95251786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08931810696616))-π/2
    2×atan(2.97224662712126)-π/2
    2×1.24624714091727-π/2
    2.49249428183453-1.57079632675     		φ = 0.92169796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95251786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.871033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92169796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.809403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106267 KachelY 42812 1.95251786 0.92169796 111.871033 52.809403
    Oben rechts KachelX + 1 106268 KachelY 42812 1.95256580 0.92169796 111.873780 52.809403
    Unten links KachelX 106267 KachelY + 1 42813 1.95251786 0.92166898 111.871033 52.807743
    Unten rechts KachelX + 1 106268 KachelY + 1 42813 1.95256580 0.92166898 111.873780 52.807743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92169796-0.92166898) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dl = 184.631580000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92169796-0.92166898) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dr = 184.631580000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95251786-1.95256580) × cos(0.92169796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604468384255636 × 6371000     		do = 184.620203567761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95251786-1.95256580) × cos(0.92166898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604491470314022 × 6371000     		du = 184.627254644227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92169796)-sin(0.92166898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604468384255636-0.604491470314022)×R²
    abs(1.95256580-1.95251786)×2.30860583860792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30860583860792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30860583860792e-05×40589641000000     		ar = 34087.3708127475m²