Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106266 / 42722
↖ ↑ ↗
← N 52.958566°
E111.868286°		 ← 183.99 m → N 52.958566°
E111.871033°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
N 52.956912°
E111.868286°		 ← 183.99 m →
33 853 m²		 N 52.956912°
E111.871033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810749053955078 y=0.325946807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810749053955078 × 217)
    floor (0.810749053955078 × 131072)
    floor (106266.5)     		tx = 106266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325946807861328 × 217)
    floor (0.325946807861328 × 131072)
    floor (42722.5)     		ty = 42722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106266 / 42722 ti = "17/106266/42722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106266/42722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106266 ÷ 217
    106266 ÷ 131072     		x = 0.810745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42722 ÷ 217
    42722 ÷ 131072     		y = 0.325942993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810745239257812 × 2 - 1) × π
    0.621490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95246992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325942993164062 × 2 - 1) × π
    0.348114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09363242793196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95246992} λ = 1.95246992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09363242793196))-π/2
    2×atan(2.98509755463996)-π/2
    2×1.24754883657407-π/2
    2.49509767314815-1.57079632675     		φ = 0.92430135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95246992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92430135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.958566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106266 KachelY 42722 1.95246992 0.92430135 111.868286 52.958566
    Oben rechts KachelX + 1 106267 KachelY 42722 1.95251786 0.92430135 111.871033 52.958566
    Unten links KachelX 106266 KachelY + 1 42723 1.95246992 0.92427247 111.868286 52.956912
    Unten rechts KachelX + 1 106267 KachelY + 1 42723 1.95251786 0.92427247 111.871033 52.956912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92430135-0.92427247) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92430135-0.92427247) × R
    2.88800000000089e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95246992-1.95251786) × cos(0.92430135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602392401851647 × 6371000     		do = 183.986145105796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95246992-1.95251786) × cos(0.92427247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602415453619219 × 6371000     		du = 183.993185708965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92430135)-sin(0.92427247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602392401851647-0.602415453619219)×R²
    abs(1.95251786-1.95246992)×2.30517675722242e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30517675722242e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30517675722242e-05×40589641000000     		ar = 33853.0828144843m²