Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106265 / 45127
↖ ↑ ↗
← N 48.794200°
E111.865539°		 ← 201.20 m → N 48.794200°
E111.868286°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
N 48.792390°
E111.865539°		 ← 201.21 m →
40 482 m²		 N 48.792390°
E111.868286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810741424560547 y=0.344295501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810741424560547 × 217)
    floor (0.810741424560547 × 131072)
    floor (106265.5)     		tx = 106265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344295501708984 × 217)
    floor (0.344295501708984 × 131072)
    floor (45127.5)     		ty = 45127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106265 / 45127 ti = "17/106265/45127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106265/45127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106265 ÷ 217
    106265 ÷ 131072     		x = 0.810737609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45127 ÷ 217
    45127 ÷ 131072     		y = 0.344291687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810737609863281 × 2 - 1) × π
    0.621475219726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.95242198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344291687011719 × 2 - 1) × π
    0.311416625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.978344184345726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95242198} λ = 1.95242198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978344184345726))-π/2
    2×atan(2.66004804416251)-π/2
    2×1.21120788268692-π/2
    2.42241576537384-1.57079632675     		φ = 0.85161944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95242198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.865539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85161944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.794200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106265 KachelY 45127 1.95242198 0.85161944 111.865539 48.794200
    Oben rechts KachelX + 1 106266 KachelY 45127 1.95246992 0.85161944 111.868286 48.794200
    Unten links KachelX 106265 KachelY + 1 45128 1.95242198 0.85158786 111.865539 48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 106266 KachelY + 1 45128 1.95246992 0.85158786 111.868286 48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85161944-0.85158786) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85161944-0.85158786) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95242198-1.95246992) × cos(0.85161944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658765627446416 × 6371000     		do = 201.203979249254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95242198-1.95246992) × cos(0.85158786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 201.211235806992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85161944)-sin(0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658765627446416-0.658789386274791)×R²
    abs(1.95246992-1.95242198)×2.3758828374465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3758828374465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3758828374465e-05×40589641000000     		ar = 40482.2020250956m²