Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106265 / 45065
↖ ↑ ↗
← N 48.906254°
E111.865539°		 ← 200.75 m → N 48.906254°
E111.868286°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
N 48.904449°
E111.865539°		 ← 200.76 m →
40 302 m²		 N 48.904449°
E111.868286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810741424560547 y=0.343822479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810741424560547 × 217)
    floor (0.810741424560547 × 131072)
    floor (106265.5)     		tx = 106265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343822479248047 × 217)
    floor (0.343822479248047 × 131072)
    floor (45065.5)     		ty = 45065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106265 / 45065 ti = "17/106265/45065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106265/45065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106265 ÷ 217
    106265 ÷ 131072     		x = 0.810737609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45065 ÷ 217
    45065 ÷ 131072     		y = 0.343818664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810737609863281 × 2 - 1) × π
    0.621475219726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.95242198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343818664550781 × 2 - 1) × π
    0.312362670898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.98131627212217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95242198} λ = 1.95242198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98131627212217))-π/2
    2×atan(2.66796570059601)-π/2
    2×1.21218574302127-π/2
    2.42437148604255-1.57079632675     		φ = 0.85357516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95242198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.865539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85357516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.906254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106265 KachelY 45065 1.95242198 0.85357516 111.865539 48.906254
    Oben rechts KachelX + 1 106266 KachelY 45065 1.95246992 0.85357516 111.868286 48.906254
    Unten links KachelX 106265 KachelY + 1 45066 1.95242198 0.85354365 111.865539 48.904449
    Unten rechts KachelX + 1 106266 KachelY + 1 45066 1.95246992 0.85354365 111.868286 48.904449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85357516-0.85354365) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85357516-0.85354365) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95242198-1.95246992) × cos(0.85357516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657292986082024 × 6371000     		do = 200.75419667078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95242198-1.95246992) × cos(0.85354365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657316732799105 × 6371000     		du = 200.761449529417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85357516)-sin(0.85354365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657292986082024-0.657316732799105)×R²
    abs(1.95246992-1.95242198)×2.37467170806083e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37467170806083e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37467170806083e-05×40589641000000     		ar = 40302.1751498886m²