Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106265 / 42815
↖ ↑ ↗
← N 52.804422°
E111.865539°		 ← 184.64 m → N 52.804422°
E111.868286°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.802761°
E111.865539°		 ← 184.65 m →
34 091 m²		 N 52.802761°
E111.868286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810741424560547 y=0.326656341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810741424560547 × 217)
    floor (0.810741424560547 × 131072)
    floor (106265.5)     		tx = 106265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326656341552734 × 217)
    floor (0.326656341552734 × 131072)
    floor (42815.5)     		ty = 42815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106265 / 42815 ti = "17/106265/42815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106265/42815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106265 ÷ 217
    106265 ÷ 131072     		x = 0.810737609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42815 ÷ 217
    42815 ÷ 131072     		y = 0.326652526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810737609863281 × 2 - 1) × π
    0.621475219726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.95242198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326652526855469 × 2 - 1) × π
    0.346694946289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0891742962673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95242198} λ = 1.95242198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0891742962673))-π/2
    2×atan(2.97181921699044)-π/2
    2×1.24620367391682-π/2
    2.49240734783364-1.57079632675     		φ = 0.92161102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95242198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.865539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92161102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.804422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106265 KachelY 42815 1.95242198 0.92161102 111.865539 52.804422
    Oben rechts KachelX + 1 106266 KachelY 42815 1.95246992 0.92161102 111.868286 52.804422
    Unten links KachelX 106265 KachelY + 1 42816 1.95242198 0.92158204 111.865539 52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 106266 KachelY + 1 42816 1.95246992 0.92158204 111.868286 52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92161102-0.92158204) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92161102-0.92158204) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95242198-1.95246992) × cos(0.92161102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604537640907745 × 6371000     		do = 184.641356331981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95242198-1.95246992) × cos(0.92158204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 184.648406943258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92161102)-sin(0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604537640907745-0.604560725443044)×R²
    abs(1.95246992-1.95242198)×2.30845352988673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30845352988673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30845352988673e-05×40589641000000     		ar = 34091.2762379661m²