Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106264 / 45126
↖ ↑ ↗
← N 48.796009°
E111.862793°		 ← 201.15 m → N 48.796009°
E111.865539°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
N 48.794200°
E111.862793°		 ← 201.16 m →
40 472 m²		 N 48.794200°
E111.865539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810733795166016 y=0.344287872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810733795166016 × 217)
    floor (0.810733795166016 × 131072)
    floor (106264.5)     		tx = 106264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344287872314453 × 217)
    floor (0.344287872314453 × 131072)
    floor (45126.5)     		ty = 45126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106264 / 45126 ti = "17/106264/45126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106264/45126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106264 ÷ 217
    106264 ÷ 131072     		x = 0.81072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45126 ÷ 217
    45126 ÷ 131072     		y = 0.344284057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81072998046875 × 2 - 1) × π
    0.6214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95237405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344284057617188 × 2 - 1) × π
    0.311431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.978392121245346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95237405} λ = 1.95237405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978392121245346))-π/2
    2×atan(2.66017556167496)-π/2
    2×1.2112236719931-π/2
    2.42244734398619-1.57079632675     		φ = 0.85165102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95237405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85165102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.796009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106264 KachelY 45126 1.95237405 0.85165102 111.862793 48.796009
    Oben rechts KachelX + 1 106265 KachelY 45126 1.95242198 0.85165102 111.865539 48.796009
    Unten links KachelX 106264 KachelY + 1 45127 1.95237405 0.85161944 111.862793 48.794200
    Unten rechts KachelX + 1 106265 KachelY + 1 45127 1.95242198 0.85161944 111.865539 48.794200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85165102-0.85161944) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85165102-0.85161944) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95237405-1.95242198) × cos(0.85165102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.658741867961057 × 6371000     		do = 201.154754046704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95237405-1.95242198) × cos(0.85161944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.658765627446416 × 6371000     		du = 201.162009291385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85165102)-sin(0.85161944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658741867961057-0.658765627446416)×R²
    abs(1.95242198-1.95237405)×2.37594853590428e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37594853590428e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37594853590428e-05×40589641000000     		ar = 40472.2979701328m²