Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106264 / 42817
↖ ↑ ↗
← N 52.801101°
E111.862793°		 ← 184.62 m → N 52.801101°
E111.865539°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.799441°
E111.862793°		 ← 184.62 m →
34 087 m²		 N 52.799441°
E111.865539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810733795166016 y=0.326671600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810733795166016 × 217)
    floor (0.810733795166016 × 131072)
    floor (106264.5)     		tx = 106264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326671600341797 × 217)
    floor (0.326671600341797 × 131072)
    floor (42817.5)     		ty = 42817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106264 / 42817 ti = "17/106264/42817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106264/42817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106264 ÷ 217
    106264 ÷ 131072     		x = 0.81072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42817 ÷ 217
    42817 ÷ 131072     		y = 0.326667785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81072998046875 × 2 - 1) × π
    0.6214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95237405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326667785644531 × 2 - 1) × π
    0.346664428710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08907842246806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95237405} λ = 1.95237405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08907842246806))-π/2
    2×atan(2.97153431104918)-π/2
    2×1.24617469315004-π/2
    2.49234938630008-1.57079632675     		φ = 0.92155306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95237405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92155306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.801101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106264 KachelY 42817 1.95237405 0.92155306 111.862793 52.801101
    Oben rechts KachelX + 1 106265 KachelY 42817 1.95242198 0.92155306 111.865539 52.801101
    Unten links KachelX 106264 KachelY + 1 42818 1.95237405 0.92152408 111.862793 52.799441
    Unten rechts KachelX + 1 106265 KachelY + 1 42818 1.95242198 0.92152408 111.865539 52.799441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92155306-0.92152408) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dl = 184.631580000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92155306-0.92152408) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dr = 184.631580000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95237405-1.95242198) × cos(0.92155306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604583809470609 × 6371000     		do = 184.616939365191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95237405-1.95242198) × cos(0.92152408) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604606892990419 × 6371000     		du = 184.62398819566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92155306)-sin(0.92152408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604583809470609-0.604606892990419)×R²
    abs(1.95242198-1.95237405)×2.30835198105073e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30835198105073e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30835198105073e-05×40589641000000     		ar = 34086.7679307615m²