Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106263 / 45125
↖ ↑ ↗
← N 48.797818°
E111.860046°		 ← 201.19 m → N 48.797818°
E111.862793°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
N 48.796009°
E111.860046°		 ← 201.20 m →
40 466 m²		 N 48.796009°
E111.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810726165771484 y=0.344280242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810726165771484 × 217)
    floor (0.810726165771484 × 131072)
    floor (106263.5)     		tx = 106263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344280242919922 × 217)
    floor (0.344280242919922 × 131072)
    floor (45125.5)     		ty = 45125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106263 / 45125 ti = "17/106263/45125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106263/45125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106263 ÷ 217
    106263 ÷ 131072     		x = 0.810722351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45125 ÷ 217
    45125 ÷ 131072     		y = 0.344276428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810722351074219 × 2 - 1) × π
    0.621444702148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.95232611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344276428222656 × 2 - 1) × π
    0.311447143554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.978440058144966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95232611} λ = 1.95232611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978440058144966))-π/2
    2×atan(2.66030308530035)-π/2
    2×1.21123946072982-π/2
    2.42247892145965-1.57079632675     		φ = 0.85168259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95232611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.860046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85168259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.797818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106263 KachelY 45125 1.95232611 0.85168259 111.860046 48.797818
    Oben rechts KachelX + 1 106264 KachelY 45125 1.95237405 0.85168259 111.862793 48.797818
    Unten links KachelX 106263 KachelY + 1 45126 1.95232611 0.85165102 111.860046 48.796009
    Unten rechts KachelX + 1 106264 KachelY + 1 45126 1.95237405 0.85165102 111.862793 48.796009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85168259-0.85165102) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85168259-0.85165102) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95232611-1.95237405) × cos(0.85168259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658718115342636 × 6371000     		do = 201.189467829798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95232611-1.95237405) × cos(0.85165102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658741867961057 × 6371000     		du = 201.196722490856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85168259)-sin(0.85165102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658718115342636-0.658741867961057)×R²
    abs(1.95237405-1.95232611)×2.37526184215797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37526184215797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37526184215797e-05×40589641000000     		ar = 40466.4641798737m²