Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10626 / 15746
↖ ↑ ↗
← N 67.871404°
W121.629639°		 ← 230.08 m → N 67.871404°
W121.624146°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
N 67.869334°
W121.629639°		 ← 230.10 m →
52 947 m²		 N 67.869334°
W121.624146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162147521972656 y=0.240272521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162147521972656 × 216)
    floor (0.162147521972656 × 65536)
    floor (10626.5)     		tx = 10626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240272521972656 × 216)
    floor (0.240272521972656 × 65536)
    floor (15746.5)     		ty = 15746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10626 / 15746 ti = "16/10626/15746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10626/15746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10626 ÷ 216
    10626 ÷ 65536     		x = 0.162139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15746 ÷ 216
    15746 ÷ 65536     		y = 0.240264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.67572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12283766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240264892578125 × 2 - 1) × π
    0.51947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63196381066519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12283766} λ = -2.12283766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63196381066519))-π/2
    2×atan(5.11390761026832)-π/2
    2×1.37768789125237-π/2
    2.75537578250473-1.57079632675     		φ = 1.18457946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12283766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.629639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18457946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.871404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10626 KachelY 15746 -2.12283766 1.18457946 -121.629639 67.871404
    Oben rechts KachelX + 1 10627 KachelY 15746 -2.12274179 1.18457946 -121.624146 67.871404
    Unten links KachelX 10626 KachelY + 1 15747 -2.12283766 1.18454334 -121.629639 67.869334
    Unten rechts KachelX + 1 10627 KachelY + 1 15747 -2.12274179 1.18454334 -121.624146 67.869334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18457946-1.18454334) × R
    3.61199999998618e-05 × 6371000     		dl = 230.12051999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18457946-1.18454334) × R
    3.61199999998618e-05 × 6371000     		dr = 230.12051999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12283766--2.12274179) × cos(1.18457946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376686648650111 × 6371000     		do = 230.07559811777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12283766--2.12274179) × cos(1.18454334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376720107831952 × 6371000     		du = 230.096034576832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18457946)-sin(1.18454334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376686648650111-0.376720107831952)×R²
    abs(-2.12274179--2.12283766)×3.34591818402785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34591818402785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34591818402785e-05×40589641000000     		ar = 52947.4677078367m²