Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106258 / 45042
↖ ↑ ↗
← N 48.947759°
E111.846314°		 ← 200.55 m → N 48.947759°
E111.849060°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
N 48.945955°
E111.846314°		 ← 200.55 m →
40 235 m²		 N 48.945955°
E111.849060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810688018798828 y=0.343647003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810688018798828 × 217)
    floor (0.810688018798828 × 131072)
    floor (106258.5)     		tx = 106258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343647003173828 × 217)
    floor (0.343647003173828 × 131072)
    floor (45042.5)     		ty = 45042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106258 / 45042 ti = "17/106258/45042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106258/45042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106258 ÷ 217
    106258 ÷ 131072     		x = 0.810684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45042 ÷ 217
    45042 ÷ 131072     		y = 0.343643188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810684204101562 × 2 - 1) × π
    0.621368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95208643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343643188476562 × 2 - 1) × π
    0.312713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.982418820813431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95208643} λ = 1.95208643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982418820813431))-π/2
    2×atan(2.67090888489138)-π/2
    2×1.21254794125106-π/2
    2.42509588250213-1.57079632675     		φ = 0.85429956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95208643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85429956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.947759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106258 KachelY 45042 1.95208643 0.85429956 111.846314 48.947759
    Oben rechts KachelX + 1 106259 KachelY 45042 1.95213436 0.85429956 111.849060 48.947759
    Unten links KachelX 106258 KachelY + 1 45043 1.95208643 0.85426807 111.846314 48.945955
    Unten rechts KachelX + 1 106259 KachelY + 1 45043 1.95213436 0.85426807 111.849060 48.945955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85429956-0.85426807) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dl = 200.622789999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85429956-0.85426807) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dr = 200.622789999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95208643-1.95213436) × cos(0.85429956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		do = 200.545560586798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95208643-1.95213436) × cos(0.85426807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656770627004951 × 6371000     		du = 200.552811906727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85429956)-sin(0.85426807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656746880372372-0.656770627004951)×R²
    abs(1.95213436-1.95208643)×2.37466325787583e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37466325787583e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37466325787583e-05×40589641000000     		ar = 40234.7372803684m²