Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106258 / 42799
↖ ↑ ↗
← N 52.830980°
E111.846314°		 ← 184.49 m → N 52.830980°
E111.849060°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.829321°
E111.846314°		 ← 184.50 m →
34 040 m²		 N 52.829321°
E111.849060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810688018798828 y=0.326534271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810688018798828 × 217)
    floor (0.810688018798828 × 131072)
    floor (106258.5)     		tx = 106258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326534271240234 × 217)
    floor (0.326534271240234 × 131072)
    floor (42799.5)     		ty = 42799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106258 / 42799 ti = "17/106258/42799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106258/42799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106258 ÷ 217
    106258 ÷ 131072     		x = 0.810684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42799 ÷ 217
    42799 ÷ 131072     		y = 0.326530456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810684204101562 × 2 - 1) × π
    0.621368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95208643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326530456542969 × 2 - 1) × π
    0.346939086914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08994128666122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95208643} λ = 1.95208643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08994128666122))-π/2
    2×atan(2.97409944812825)-π/2
    2×1.24643544038188-π/2
    2.49287088076376-1.57079632675     		φ = 0.92207455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95208643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92207455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.830980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106258 KachelY 42799 1.95208643 0.92207455 111.846314 52.830980
    Oben rechts KachelX + 1 106259 KachelY 42799 1.95213436 0.92207455 111.849060 52.830980
    Unten links KachelX 106258 KachelY + 1 42800 1.95208643 0.92204559 111.846314 52.829321
    Unten rechts KachelX + 1 106259 KachelY + 1 42800 1.95213436 0.92204559 111.849060 52.829321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92207455-0.92204559) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dl = 184.504160000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92207455-0.92204559) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dr = 184.504160000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95208643-1.95213436) × cos(0.92207455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604168338835404 × 6371000     		do = 184.49007040862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95208643-1.95213436) × cos(0.92204559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604191415552408 × 6371000     		du = 184.49711716177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92207455)-sin(0.92204559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604168338835404-0.604191415552408)×R²
    abs(1.95213436-1.95208643)×2.30767170037449e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30767170037449e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30767170037449e-05×40589641000000     		ar = 34039.8355491939m²