Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106257 / 45043
↖ ↑ ↗
← N 48.945955°
E111.843567°		 ← 200.59 m → N 48.945955°
E111.846314°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 48.944151°
E111.843567°		 ← 200.60 m →
40 232 m²		 N 48.944151°
E111.846314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810680389404297 y=0.343654632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810680389404297 × 217)
    floor (0.810680389404297 × 131072)
    floor (106257.5)     		tx = 106257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343654632568359 × 217)
    floor (0.343654632568359 × 131072)
    floor (45043.5)     		ty = 45043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106257 / 45043 ti = "17/106257/45043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106257/45043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106257 ÷ 217
    106257 ÷ 131072     		x = 0.810676574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45043 ÷ 217
    45043 ÷ 131072     		y = 0.343650817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810676574707031 × 2 - 1) × π
    0.621353149414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.95203849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343650817871094 × 2 - 1) × π
    0.312698364257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.982370883913811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95203849} λ = 1.95203849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982370883913811))-π/2
    2×atan(2.67078085286903)-π/2
    2×1.21253219976183-π/2
    2.42506439952365-1.57079632675     		φ = 0.85426807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95203849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.843567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85426807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.945955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106257 KachelY 45043 1.95203849 0.85426807 111.843567 48.945955
    Oben rechts KachelX + 1 106258 KachelY 45043 1.95208643 0.85426807 111.846314 48.945955
    Unten links KachelX 106257 KachelY + 1 45044 1.95203849 0.85423659 111.843567 48.944151
    Unten rechts KachelX + 1 106258 KachelY + 1 45044 1.95208643 0.85423659 111.846314 48.944151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85426807-0.85423659) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85426807-0.85423659) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95203849-1.95208643) × cos(0.85426807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656770627004951 × 6371000     		do = 200.59465476312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95203849-1.95208643) × cos(0.85423659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656794365445566 × 6371000     		du = 200.601905093911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85426807)-sin(0.85423659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656770627004951-0.656794365445566)×R²
    abs(1.95208643-1.95203849)×2.37384406146512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37384406146512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37384406146512e-05×40589641000000     		ar = 40231.8064754173m²