Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106254 / 44717
↖ ↑ ↗
← N 49.530556°
E111.835327°		 ← 198.23 m → N 49.530556°
E111.838074°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
N 49.528774°
E111.835327°		 ← 198.24 m →
39 291 m²		 N 49.528774°
E111.838074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810657501220703 y=0.341167449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810657501220703 × 217)
    floor (0.810657501220703 × 131072)
    floor (106254.5)     		tx = 106254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341167449951172 × 217)
    floor (0.341167449951172 × 131072)
    floor (44717.5)     		ty = 44717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106254 / 44717 ti = "17/106254/44717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106254/44717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106254 ÷ 217
    106254 ÷ 131072     		x = 0.810653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44717 ÷ 217
    44717 ÷ 131072     		y = 0.341163635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810653686523438 × 2 - 1) × π
    0.621307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95189468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341163635253906 × 2 - 1) × π
    0.317672729492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.997998313189949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95189468} λ = 1.95189468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997998313189949))-π/2
    2×atan(2.71284612168326)-π/2
    2×1.21763380971508-π/2
    2.43526761943016-1.57079632675     		φ = 0.86447129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95189468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.835327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86447129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.530556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106254 KachelY 44717 1.95189468 0.86447129 111.835327 49.530556
    Oben rechts KachelX + 1 106255 KachelY 44717 1.95194262 0.86447129 111.838074 49.530556
    Unten links KachelX 106254 KachelY + 1 44718 1.95189468 0.86444018 111.835327 49.528774
    Unten rechts KachelX + 1 106255 KachelY + 1 44718 1.95194262 0.86444018 111.838074 49.528774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86447129-0.86444018) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.201810000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86447129-0.86444018) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.201810000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95189468-1.95194262) × cos(0.86447129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649042423686102 × 6371000     		do = 198.234262545591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95189468-1.95194262) × cos(0.86444018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649066090373417 × 6371000     		du = 198.241490961078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86447129)-sin(0.86444018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649042423686102-0.649066090373417)×R²
    abs(1.95194262-1.95189468)×2.3666687315127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3666687315127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3666687315127e-05×40589641000000     		ar = 39291.1059861841m²