Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106253 / 44718
↖ ↑ ↗
← N 49.528774°
E111.832580°		 ← 198.24 m → N 49.528774°
E111.835327°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 49.526991°
E111.832580°		 ← 198.25 m →
39 305 m²		 N 49.526991°
E111.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810649871826172 y=0.341175079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810649871826172 × 217)
    floor (0.810649871826172 × 131072)
    floor (106253.5)     		tx = 106253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341175079345703 × 217)
    floor (0.341175079345703 × 131072)
    floor (44718.5)     		ty = 44718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106253 / 44718 ti = "17/106253/44718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106253/44718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106253 ÷ 217
    106253 ÷ 131072     		x = 0.810646057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44718 ÷ 217
    44718 ÷ 131072     		y = 0.341171264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810646057128906 × 2 - 1) × π
    0.621292114257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.95184674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341171264648438 × 2 - 1) × π
    0.317657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997950376290329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95184674} λ = 1.95184674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997950376290329))-π/2
    2×atan(2.71271607936797)-π/2
    2×1.21761825289071-π/2
    2.43523650578142-1.57079632675     		φ = 0.86444018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95184674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.832580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86444018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.528774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106253 KachelY 44718 1.95184674 0.86444018 111.832580 49.528774
    Oben rechts KachelX + 1 106254 KachelY 44718 1.95189468 0.86444018 111.835327 49.528774
    Unten links KachelX 106253 KachelY + 1 44719 1.95184674 0.86440906 111.832580 49.526991
    Unten rechts KachelX + 1 106254 KachelY + 1 44719 1.95189468 0.86440906 111.835327 49.526991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86444018-0.86440906) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86444018-0.86440906) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95184674-1.95189468) × cos(0.86444018) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.649066090373417 × 6371000     		do = 198.241490961996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95184674-1.95189468) × cos(0.86440906) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.649089764039663 × 6371000     		du = 198.248721509028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86444018)-sin(0.86440906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649066090373417-0.649089764039663)×R²
    abs(1.95189468-1.95184674)×2.36736662465598e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.36736662465598e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.36736662465598e-05×40589641000000     		ar = 39305.1690784849m²