Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106252 / 44716
↖ ↑ ↗
← N 49.532339°
E111.829834°		 ← 198.23 m → N 49.532339°
E111.832580°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 49.530556°
E111.829834°		 ← 198.23 m →
39 302 m²		 N 49.530556°
E111.832580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810642242431641 y=0.341159820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810642242431641 × 217)
    floor (0.810642242431641 × 131072)
    floor (106252.5)     		tx = 106252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341159820556641 × 217)
    floor (0.341159820556641 × 131072)
    floor (44716.5)     		ty = 44716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106252 / 44716 ti = "17/106252/44716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106252/44716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106252 ÷ 217
    106252 ÷ 131072     		x = 0.810638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44716 ÷ 217
    44716 ÷ 131072     		y = 0.341156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810638427734375 × 2 - 1) × π
    0.62127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95179880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341156005859375 × 2 - 1) × π
    0.31768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.998046250089569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95179880} λ = 1.95179880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998046250089569))-π/2
    2×atan(2.71297617023251)-π/2
    2×1.21764936597213-π/2
    2.43529873194426-1.57079632675     		φ = 0.86450241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95179880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86450241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.532339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106252 KachelY 44716 1.95179880 0.86450241 111.829834 49.532339
    Oben rechts KachelX + 1 106253 KachelY 44716 1.95184674 0.86450241 111.832580 49.532339
    Unten links KachelX 106252 KachelY + 1 44717 1.95179880 0.86447129 111.829834 49.530556
    Unten rechts KachelX + 1 106253 KachelY + 1 44717 1.95184674 0.86447129 111.832580 49.530556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86450241-0.86447129) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86450241-0.86447129) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95179880-1.95184674) × cos(0.86450241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649018748762898 × 6371000     		do = 198.227031614652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95179880-1.95184674) × cos(0.86447129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649042423686102 × 6371000     		du = 198.234262545591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86450241)-sin(0.86447129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649018748762898-0.649042423686102)×R²
    abs(1.95184674-1.95179880)×2.36749232034317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36749232034317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36749232034317e-05×40589641000000     		ar = 39302.302326428m²