Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10625 / 22910
↖ ↑ ↗
← S 58.066256°
W 63.270264°		 ← 646.17 m → S 58.066256°
W 63.259277°		 →
↑
646.15 m
↓
↑
646.15 m
↓
S 58.072067°
W 63.270264°		 ← 646.07 m →
417 488 m²		 S 58.072067°
W 63.259277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324264526367188 y=0.699172973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324264526367188 × 215)
    floor (0.324264526367188 × 32768)
    floor (10625.5)     		tx = 10625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699172973632812 × 215)
    floor (0.699172973632812 × 32768)
    floor (22910.5)     		ty = 22910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10625 / 22910 ti = "15/10625/22910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10625/22910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10625 ÷ 215
    10625 ÷ 32768     		x = 0.324249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22910 ÷ 215
    22910 ÷ 32768     		y = 0.69915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.35150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10427442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3983154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.25134482768195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10427442} λ = -1.10427442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25134482768195))-π/2
    2×atan(0.286119756243033)-π/2
    2×0.278674487820765-π/2
    0.55734897564153-1.57079632675     		φ = -1.01344735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10427442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01344735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.066256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10625 KachelY 22910 -1.10427442 -1.01344735 -63.270264 -58.066256
    Oben rechts KachelX + 1 10626 KachelY 22910 -1.10408267 -1.01344735 -63.259277 -58.066256
    Unten links KachelX 10625 KachelY + 1 22911 -1.10427442 -1.01354877 -63.270264 -58.072067
    Unten rechts KachelX + 1 10626 KachelY + 1 22911 -1.10408267 -1.01354877 -63.259277 -58.072067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01344735--1.01354877) × R
    0.000101420000000019 × 6371000     		dl = 646.146820000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01344735--1.01354877) × R
    0.000101420000000019 × 6371000     		dr = 646.146820000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10427442--1.10408267) × cos(-1.01344735) × R
    0.000191750000000157 × 0.528938241024808 × 6371000     		do = 646.171716062395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10427442--1.10408267) × cos(-1.01354877) × R
    0.000191750000000157 × 0.528852167175061 × 6371000     		du = 646.066564869145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01344735)-sin(-1.01354877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528938241024808-0.528852167175061)×R²
    abs(-1.10408267--1.10427442)×8.60738497473479e-05×R²
    0.000191750000000157×8.60738497473479e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.60738497473479e-05×40589641000000     		ar = 417487.828311039m²